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2018-2019学年高二数学上学期期中试题理II本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分满分150分,考试时间120分钟请在答题卷上作答
一、选择题(本大题共12题,每题5分,满分60分,每小题只有一个正确答案)
1.已知命题,;命题,使则下列命题中为真命题的是 A.B.p∧qC.D.
2.下列说法正确的是()A.命题“”的否定是“”B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“若,则”的否命题是若,则D.命题“若,则”的逆否命题为真命题.
3.设定点、,动点满足,则点的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段
4.设分别是椭圆的左右焦点,是椭圆上一点,且则的面积为()A.24B.25C.30D.
405.在平面直角坐标系中,已知为函数图象上一点,若,则()A.B.C.D.
6.设双曲线的中心为点,若直线和相交于点,直线交双曲线于,直线交双曲线于,且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对,且在右支上存在一点,使,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.
7.已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点,若,则的离心率为A.B.C.2D.
8.已知为坐标原点,,是双曲线(,)的左、右焦点,双曲线上一点满足,且,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.
9.已知点是抛物线上的一点,设点到此抛物线准线的距离为,到直线的距离为,则的最小值为()A.4B.C.5D.
10.已知点在抛物线上,则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点的坐标为()A.B.C.D.
11.过曲线图象上一点(2,2)及邻近一点(2,2)作割线,则当时割线的斜率为()A.B.C.1D.
12.已知,则A.B.C.D.以上都不正确第II卷选择题(共90分)
二、填空题共4小题每小题5分共20分
13.关于的不等式成立的充分不必要条件是,则实数的取值范围是__________.
14.已知圆及一点,在圆上运动一周,的中点形成轨迹的方程为__________.
15.直线与椭圆交与两点,以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆的离心率为__________.
16.已知在上可导,,则__________.
三、解答题共6小题共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+ax(a∈R),且曲线f(x)在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行.(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若函数y=f(x)﹣m在区间[﹣3,]上有三个零点,求实数m的取值范围.
18.(12分)已知函数.(Ⅰ)若函数在处的切线方程为,求和的值;(Ⅱ)讨论方程的解的个数,并说明理由.
19.(12分)已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F,Ax1,y1,Bx2,y2是过F的直线与抛物线的两个交点,求证1y1y2=-p2,;2为定值;3以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
20.(12分)已知分别是双曲线E的左、右焦点,P是双曲线上一点,到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当时,的面积为,求此双曲线的方程
21.(12分)设命题,命题关于不等式的解集为.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若命题或是真命题,且是假命题,求实数的取值范围.
22.(10分)如图小明想将短轴长为2长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE且梯形ABDE内接于半椭圆DE∥ABAB为短轴OC为长半轴1求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式;2若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点求底边DE的取值范围参考答案
1.D
2.D
3.D
4.A
5.C
6.D
7.C
8.D
9.D
10.D
11.B
12.B
13.
14.
15.
16.
017.解(Ⅰ)当x>0时,f′(x)=x2+a,因为曲线f(x)在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行,所以f′()=+a=﹣,解得a=﹣1,所以f(x)=x3﹣x,设x<0则f(x)=﹣f(﹣x)=x3﹣x,又f
(0)=0,所以f(x)=x3﹣x.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(﹣3)=﹣6,f(﹣1)=,f
(1)=﹣,f()=0,所以函数y=f(x)﹣m在区间[﹣3,]上有三个零点,等价于函数f(x)在[﹣3,]上的图象与y=m有三个公共点.结合函数f(x)在区间[﹣3,]上大致图象可知,实数m的取值范围是(﹣,0).
18.1,;
(2)当时,方程无解;当或时,方程有唯一解;当时,方程有两解.解析(Ⅰ)因为,又在处得切线方程为,所以,解得.(Ⅱ)当时,在定义域内恒大于0,此时方程无解.当时,在区间内恒成立,所以为定义域为增函数,因为,所以方程有唯一解.当时,.当时,,在区间内为减函数,当时,,在区间内为增函数,所以当时,取得最小值.当时,,无方程解;当时,,方程有唯一解.当时,,因为,且,所以方程在区间内有唯一解,当时,设,所以在区间内为增函数,又,所以,即,故.因为,所以.所以方程在区间内有唯一解,所以方程在区间内有两解,综上所述,当时,方程无解.
19.解析 1由已知得抛物线焦点坐标为,
0.由题意可设直线方程为x=my+,代入y2=2px,得y2=2pmy+,即y2-2pmy-p2=
0.*则y1,y2是方程*的两个实数根,所以y1y2=-p
2.因为y=2px1,y=2px2,所以yy=4p2x1x2,所以x1x2===.2+=+=.因为x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得+==定值.3设AB的中点为Mx0,y0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|=|AC|+|BD|=|AF|+|BF|=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
20.
(1)
(2)解析
(1)因为双曲线的渐近线方程为,则点到渐近线距离为(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知,又因为,解得,故所求双曲线的渐近线方程是.
(2)因为,由余弦定理得,即又由双曲线的定义得,平方得,相减得根据三角形的面积公式得,得再由上小题结论得,故所求双曲线方程是.
21.
(1)当为真时,;
(2)的取值范围是解析
(1)当为真时,∵不等式的解集为,∴当时,恒成立.∴,∴∴当为真时,
(2)当为真时,∵,∴当为真时,;当为真时,,由题设,命题或是真命题,且是假命题,真假可得,假真可得或综上可得或则的取值范围是.
22.
(1);
(2)解析
(1)以所在直线为轴,所在直线为轴,建立直角坐标系半椭圆的方程,设椭圆上点,所以且,所以.
(2)设半椭圆上一点为由题可知点所以,又函数图象的对称轴为,所以解得所以由
(1)知所以底边DE的取值范围为。