还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题I
一、选择题(每小题5分,共8小题,共40分)1.复数,则()A.0B.C.1D.2.已知等差数列的公差为2,前项和为,且,则的值为()A.16B.15C.14D.133.下列叙述中正确的是()A.若,则“”的充分条件是“”B.若,则“”的充要条件是“”C.命题“”的否定是“”D.是等比数列,则是为单调递减数列的充分条件4.已知直线经过椭圆的左焦点,且与椭圆在第二象限的交点为M,与轴的交点为N,是椭圆的右焦点且,则椭圆的方程为()A.B.C.D.5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A.B.C.D.6.已知,,则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数是定义在R上的偶函数,当时,,若,则不等式的解集为()A.或B.或C.或D.或8.过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交抛物线于点,若,则双曲线的离心率是()A.B.C.D.
二、填空题(每小题5分,共6小题,共30分)9.已知方程表示椭圆,则的取值范围为__________.10.设公比为的正项等比数列的前项和为,且,若,则__________.11.在正四面体中,棱长为2,且E是棱中点,则的值为__________.12.已知,,且,则的最小值等于__________.13.设抛物线()的焦点为,准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为___________.14.已知函数,若是函数唯一的极值点,则实数的取值范围为__________.
三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)数列的前项和为,已知,.其中(Ⅰ)证明数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前项和.16.(13分)已知函数在处取得极值.(Ⅰ)求函数在点处的切线方程;(Ⅱ)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围.17.(13分)在如图所示的多面体中,平面,平面,,且,是的中点.(Ⅰ)求证;(Ⅱ)求平面与平面所成的二面角的正弦值;(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得直线与平面所成的角是.若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.18.(13分)已知数列满足,,其中(Ⅰ)设,求证数列是等差数列,并求出的通项公式;(Ⅱ)设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.19.(14分)已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点.点为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在说明理由;(Ⅲ)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最大值.20.(14分)已知函数,.(Ⅰ)若在处取得极值,求的值;(Ⅱ)设,试讨论函数的单调性;(Ⅲ)当时,若存在正实数满足,求证.高二数学参考答案1.D2.B3.C4.D5.B6.A7.C8.A9.10.211.12.13.14.15.(Ⅰ)证明∵,∴,∴,又,∴,∴数列是以1为首项,2为公比的等比数列.…………………………6分(Ⅱ)由
(1)知,,∴,∴,
①.
②①-
②得,∴.…………………………7分16.(Ⅰ)时,取得极值,故解得.经检验符合题意…………………………6分(Ⅱ)由知,得令则在上恰有两个不同的实数根,等价于上恰有两个不同实数根.当时,,于是上单调递增;当时,,于是在上单调递增;依题意有解得.…………………………7分17.(Ⅰ)证明∵,是的中点,∴,又平面,∴,∵,∴平面,∴.…………………………3分(Ⅱ)以为原点,分别以,为,轴,如图建立坐标系.则,,,,,,,,,设平面的一个法向量,则,取,,,所以,设平面的一个法向量,则取,,,所以,.故平面与平面所成的二面角的正弦值为.…………………………5分(Ⅲ)在棱上存在一点,使得直线与平面所成的角是,设且,,∴,∴,,,∴,若直线与平面所成的的角为,则,解得,所以在棱上存在一点,使直线与平面所成的角是,点为棱的中点.…………………………5分18.(Ⅰ)证明,所以数列是等差数列,,因此,由.…………………………6分(Ⅱ)由,所以,所以,因为,所以恒成立,依题意要使对于,恒成立,只需,且解得,的最小值为.…………………………7分19.(Ⅰ)∵左顶点为∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为.…………………3分(Ⅱ)直线的方程为,由消元得化简得,,则当时,,∴∵点为的中点∴点的坐标为,则.直线的方程为,令,得点的坐标为,假设存在定点使得则,即恒成立,∴恒成立∴即∴定点的坐标为.…………………………5分(Ⅲ)∵∴的方程可设为,由得点的横坐标为由,得,当且仅当即时取等号,∴当时,的最小值为.所以,原式最大值为…………………………6分20.(Ⅰ)解因为,所以,因为在处取得极值,所以,解得.验证当时,在处取得极大值.………………………3分(Ⅱ)解因为所以.
①若,则当时,,所以函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减.
②若,,当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减;当时,恒成立,所以函数在上单调递增;当时,易得函数在和上单调递增,在上单调递减.…………………………5分(Ⅲ)证明当时,,因为,所以,即,所以.令,,则,当时,,所以函数在上单调递减;当时,,所以函数在上单调递增.所以函数在时,取得最小值,最小值为.所以,即,所以或.因为为正实数,所以.当时,,此时不存在满足条件,所以.…………………………6分。