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2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题理III
一、选择题本大题共有12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一项符合题意
1.在等差数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=A.95B.100C.135D.80【答案】B【解析】由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是a7+a8=a1+a2+4-1[a3+a4-a1+a2]=40+3×20=
100.选B.
2.已知等差数列{an}中,a2+a8=16,a4=1,则a6的值为A.15B.17C.22D.64【答案】A【解析】等差数列{an}中,a2+a8=16=2a5,即a5=8,又a4=1,故d=7,从而a6=a4+2d=
15.故答案为A.
3.设数列{an}的通项公式为an=n2+bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围为A.[1+∞B.[-2+∞C.-3+∞D.-+∞【答案】C【解析】因该函数的对称轴结合二次函数的图象可知当即时单调递增应选C.考点数列的单调性等有关知识的综合运用.【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息借助二次函数的对称轴进行数形结合合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴放在的左边而得而得的答案.这是极其容易出现的错误之一.
4.下列命题中正确的是A.若,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则【答案】C【解析】A当c=0时,,故不正确;B,若则,则举例说明a=3b=2c=-1d=-2则,故选项不正确D,若,则有故不正确;故选C;
5.已知数列为等比数列,且首项,公比,则数列的前10项的和为A.B.C.D.【答案】D【解析】数列代表奇数项的和,已知数列为等比数列,故奇数项也是等比数列,公比为4,首项为1,每项和为故答案为D.
6.已知数列满足,且,则A.B.11C.12D.23【答案】B【解析】数列满足,且根据递推公式得到故答案为B.
7.已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为A.B.C.D.【答案】C【解析】由得故,当n=9或n=10时,的最大值为或.【考点】等差数列性质及有关计算
8.数列{an}中,a1=0,an+1-an=,an=9,则n=A.97B.98C.99D.100【答案】D【解析】由an+1-an==-,所以an=-1+-+···+-=-1=9所以n=100,故选D.考点数列求和.
9.若关于x的不等式x2+ax-20在区间
[15]上有解则a的取值范围是 A.-+∞B.[-1]C.1+∞D.-∞]【答案】A【解一】令fx=x2+ax-2则f0=-20所以不等式x2+ax-20在区间x
[15]上有解须且只需f50即25+5a-20即a的取值范围是-+∞.本题选择A选项.【解二】因为x2+ax-20在区间x
[15]上有解,所以不等式ax2-x2即a-x在区间x
[15]上有解令y=-xx
[15]则aymin即a-所以a的取值范围是-+∞.本题选择A选项.【解三】假设“关于x的不等式x2+ax-20在区间
[15]上无解”即关于x的不等式x2+ax-20在区间
[15]恒成立,令fx=x2+ax-2则f0=-20所以f10且f50解得a-所以当a-时关于x的不等式x2+ax-20在区间
[15]上无解所以a的取值范围是-+∞.本题选择A选项.
10.已知数列满足,是等差数列,则数列的前10项的和A.220B.110C.99D.55【答案】B【解析】设等差数列的公差为,则,将已知值和等量关系代入,计算得,所以,所以,选B.点睛本题主要考查求数列通项公式和裂项相消法求和,属于中档题本题的关键是求出数列的通项公式
11.等比数列的前项和为常数,若恒成立,则实数的最大值是A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由题意可知且可得化简为由于均值不等式等号不成立所以由钩型函数可知当n=1时.选C.【点睛】等比数列当对于恒成立我们常用分离参数的方法但是要注意用均值不等式时要对等号进行判定.
12.下列说法正确的是A.y=sinx+,x没有最小值B.当0时,x3﹣2x≤2恒成立C.已知0<x<
4.5,则当x2=9﹣2x时,x29﹣2x的值最大D.当1<x<10时,y=lgx的最小值为2【答案】B【解析】解由x,0<sin≤1,令sinx=t,t∈0,1],则ft=t+,t∈0,1],易得ft单调递减,∴当t=1时取最小值,最小值为3,∴y=sinx+,x,有最小值为3,故A错误;由0<x<,则3﹣2x>0,∴x3﹣2x≤2,恒成立,故B正确;0<x<
4.5,则9﹣2x>0,∴x29﹣2x=x·x·9﹣2x≤3=
27.当且仅当x=9﹣2x,即x=3取等号,∴当x29﹣2x取得最大值27时,故C错误;当1<x<10时,0<lgx<1,y=lgx≥2=2,当且仅当lgx=,即x=10时,取最小值,故D错误,故选B.
二、填空题本大题共有4个小题每题3分共12分
13.等比数列的前项和为已知则_______.【答案】【解析】
14.数列{an}满足,axx=3则a3=__________.【答案】【解析】因为an+1=所以an=1-因为axx=3所以axx=axx=-axx=3···所以该数列以3为周期呈现若把数列a1a2a3···axx倒置成新数列{bn}则b1=axxb2=axx···a9=bxx=b3670+2=b2=.
15.若x,y满足约束条件,则的最小值为__________【答案】-5【解析】由约束条件作出可行域如图,联立,解得,化目标函数为,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最小值为,故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”1作出可行域一定要注意是实线还是虚线;2找到目标函数对应的最优解对应点在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解;3将最优解坐标代入目标函数求出最值.
16.设数列的前项和为已知则______【答案】240【解析】由,当为奇数时,有;当为偶数时,,数列的偶数项构成以为首项,以为公差的等差数列,则,故答案为.【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前项和,属于中档题.利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
三、解答题本大题共6个小题共70分解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.
17.本小题12分在等差数列中,,⑴求数列的通项公式;⑵设数列是首项为,公比为的等比数列,求的前项和【答案】12当时,当时,.试题分析1设等差数列的公差是,由已知求出首项与公差,即可求出数列的通项公式;2由数列是首项为,公比为的等比数列,结合1的结果,求出的通项公式,再利用等差数列与等比数列的前项和公式求解即可.试题解析⑴设等差数列的公差是.由已知∴∴,得,∴数列的通项公式为⑵由数列是首项为,公比为的等比数列,∴∴∴∴当时,,当时,.【考点】等差等比数列.
18.本小题12分已知等比数列满足,数列的前项和为.1求数列的通项公式;2数列的通项公式为,求数列的前项和.
19.本小题12分如图所示,在四边形中,且求的面积;若求的长.【答案】128试题分析1己知且,再由三角形面积公式,可解2在中,由角D的余弦定理可求得AC=,在中,由角B的余弦定理可求得AB长试题解析由余弦定理知,
20.本小题10分本公司计划xx在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为
0.3万元和
0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?【答案】该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.试题分析先根据题意列约束条件以及目标函数,再作可行域,根据目标函数线平移确定最大值取法,最后利用解方程组得最优解.试题解析设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟,总收益为元,由题意得目标函数为.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图作直线,即.平移直线,从图中可知,当直线过点时,目标函数取得最大值.联立解得.点的坐标为.元.答该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
21.本小题12分已知函数的最低点为.1求不等式的解集;2若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】12试题分析1根据函数的最低点为,得到对称轴与最小值,列方程组求出,,即可求得函数解析式,然后利用一元二次不等式的解法求解即可;2由由,可得,分别求出与的最大值与最小值,利用不等式恒成立可得结果.试题解析1依题意,得,
①,
②由
①②解得,,.∴.则原不等式可化为,解得或.故不等式的解集为.2由,得,即,则,即.∵,∴的最小值是.的最大值是.∴,即.故实数的取值范围是.
22.本小题12分在中,角的对边分别为,且.1求角的大小;2若,求的最大值.【答案】12时,取最大值试题分析1由,根据正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果;2根据正弦定理可得,利用三角函数的有界性可得结果.试题解析1在中,由以及正弦定理得.,,∴.∵,∴.2∵,,由正弦定理得,∴,.∴.又∵,∴时,取最大值.。