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2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题一.选择题(共13小题,1-10为单选题,11-13为多选题,共52分)1.给出下列命题中正确的是( )A.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B.底面是矩形的平行六面体是长方体C.棱柱的底面一定是平行四边形D.棱锥的底面一定是三角形2.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰二千一百一十二尺.术曰周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是说圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方×高),则由此可推得圆周率π的取值为( )A.3B.
3.1C.
3.14D.
3.23.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行4.已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2π的正方形,则该圆柱的外接球表面积为( )A.B.4π(π2+1)C.D.4π(π+1)5.在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中,平面α与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1∥平面α.有下列三个命题
①四边形EFGH是平行四边形;
②平面α∥平面BCC1B1;
③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有( )A.
①②B.
②③C.
①③D.
①②③6.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折起,使面BAC⊥面DAC,则四面体A﹣BCD的外接球的体积为( )A.πB.πC.πD.π7.如图所示,Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图,其中A′C′⊥B′C′,B′O′=O′C′=1,则△ABC的面积为( )A.2B.C.D.8.已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上,SC为该球的直径,△ABC是边长为4的等边三角形,三棱锥S﹣ABC的体积为,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.B.C.D.9.已知a,b,c表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列命题
①若a∥b,b∥α,则a∥α;
②若a⊥b,b⊥α,c⊥α,则a⊥c;
③若a⊥b,b⊥α,则a∥α;
④若a∥b,b∥α,b⊂β,a∩β=c,则a∥c.其中错误命题的序号是( )A.
①③B.
②④C.
③④D.
①②10.如图1—2—87所示,四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P是线段BC1上任意一点,则下列结论中不正确的是( )A.AD1⊥DPB.AP⊥B1CC.AC1⊥DPD.A1P⊥B1C12.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.给出下列命题A若m⊥α,m⊥n,则n∥α;B若m⊥β,n⊥β,则n∥m;C若m⊥α,m⊥β,则α∥β;D若α∥β,m⊂α,n⊂β,则n∥m;则正确的( )13.对于不重合的两个平面α和β,给定下列条件A存在直线l,使得l⊥α,且l⊥β;B存在平面γ,使得α⊥γ且β⊥γ;Cα内有不共线的三点到β的距离相等;D存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β其中,可以判定α与β平行的条件有( )二.填空题(共5小题,每小题4分,共20分)14.若一圆锥的底面半径为3,体积是12π,则该圆锥的侧面积等于 .15.现有一正四棱柱形铁块,底面边长为高的8倍,将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗).设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1,S2.则的值为 .16.棱长为a的正四面体的内切球半径为外接球的半径为
17.如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC
1、C1D
1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足 时,有MN∥平面B1BDD1.18.在四面体ABCD中,DA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱BC上一点,且平面ADE⊥平面BCD,则DE= .三.解答题(共6小题,每小题13分,共78分)19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C中,已知∠ACB=90°,BC=CC1,E,F分别为AB,AA1的中点.
(1)求证直线EF∥平面BC1A1;
(2)求证EF⊥B1C.20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,∠ADB=90°,CB=CD,点E为棱PB的中点.
(1)若PB=PD,求证PC⊥BD;
(2)求证CE∥平面PAD.21.如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.
(1)求证BN∥平面A1MC;
(2)若A1M⊥AB1,求证AB1⊥A1C.22.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为长方体,点P是CD中点,Q是A1B1的中点.(I)求证AQ∥平面PBC1;(Ⅱ)若BC=CC1,求证平面A1B1C⊥平面PBC1.23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,,E,F分别为线段AD,PB的中点.
(1)证明PD∥平面CEF;
(2)若PE⊥平面ABCD,PE=AB=2,求四面体P﹣DEF的体积.24.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是CB,CD的中点,点M在棱CC1上,CM=tCC1(0<t<1).(Ⅰ)三棱锥C﹣EFM,C1﹣B1D1M的体积分别为V1,V2,当t为何值时,V1•V2最大?最大值为多少?(Ⅱ)若A1C∥平面B1D1M,证明平面EFM⊥平面B1D1M. 一.选择题(共13小题)1AADBC.CADAB. 11.ACD12.BC13.AD二.填空题(共5小题)14.15π.15..
16.、17.M在线段FH上18..三.解答题(共6小题)19.证明
(1)由题知,EF是△AA1B的中位线,所以EF∥A1B……………(2分)由于EF⊄平面BC1A1,A1B⊂平面BC1A1,所以EF∥平面BC1A1.……………(6分)
(2)由题知,四边形BCC1B1是正方形,所以B1C⊥BC1.……(8分)又∠A1C1B1=∠ACB=90°,所以A1C1⊥C1B1.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面A1C1B1,A1C1⊂平面A1C1B1,从而A1C1⊥CC1,又CC1∩C1B1=C1,CC1,C1B1⊂平面BCC1B1,所以A1C1⊥平面BCC1B1,又B1C⊂平面BCC1B1,所以A1C1⊥B1C..……………(10分)因为A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1⊂平面BC1A1,所以B1C⊥平面BC1A1.……………(12分)又A1B⊂平面BC1A1,所以B1C⊥A1B.又由于EF∥A1B,所以EF⊥B1C.……………(13分)20.证明
(1)取BD的中点O,连结CO,PO,因为CD=CB,所以△CBD为等腰三角形,所以BD⊥CO.因为PB=PD,所以△PBD为等腰三角形,所以BD⊥PO.又PO∩CO=O,所以BD⊥平面PCO.因为PC⊂平面PCO,所以PC⊥BD.解
(2)由E为PB中点,连EO,则EO∥PD,又EO⊄平面PAD,所以EO∥平面PAD.由∠ADB=90°,以及BD⊥CO,所以CO∥AD,又CO⊄平面PAD,所以CO∥平面PAD.又CO∩EO=O,所以平面CEO∥平面PAD,而CE⊂平面CEO,所以CE∥平面PAD. 21.证明
(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1,又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC;
(2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC=M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB⊥A1C. 21.证明
(1)取AB中点为R,连接PR,B1R∵点P是CD中点,Q是A1B1的中点,∴四边形AQB1R,PRB1C1都为平行四边形,∴AQ∥B1R,B1R∥PC1,∴AQ∥PC1.∵AQ⊄平面PBC1,PC1⊂平面PBC1,∴AQ∥平面PBC1.(Ⅱ)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为长方体,BC=CC1,∴B1C⊥BC1.∵A1B1⊥平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.∵A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,BC1⊂平面PBC1,∴平面A1B1C⊥平面PBC1.22.
(1)证明连接BE、BD,BD交CE于点O,∵E为线段AD的中点,AD∥BC,,∴BC∥ED,∴四边形BCDE为平行四边形,∴O为BD的中点,又F是BP的中点,∴OF∥PD,又OF⊂平面CEF,PD⊄平面CEF,∴PD∥平面CEF;
(2)解由
(1)知,四边形BCDE为平行四边形,∴BE∥CD,∵四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,,∴AB=AE=BE,∴三角形ABE是等边三角形,∴,做BH⊥AD于H,则,∵PE⊥平面ABCD,PE⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD,又平面PAD∩平面ABCD=AD,BH⊥AD,BH⊂平面ABCD,∴BH⊥平面PAD,∴点B到平面PAD的距离为,又∵F为线段PB的中点,∴点F到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离的一半,即,又,∴=. 23.解(Ⅰ)由题可知,CM=2t,C1M=2﹣2t,∴V1=S△ECF•CM==,V2=S•C1M=(2﹣2t)=(1﹣t),∴V1•V2=≤•()2=.当且仅当t=1﹣t,即t=时等号成立.所以当t=时,V1•V2最大,最大值为.(Ⅱ)连接A1C1交B1D1于点O,则O为A1C1的中点,∵A1C∥平面B1D1M,平面A1CC1∩平面B1D1M=OM,∴A1C∥OM,∴M为CC1的中点,连接BD,∵E,F为BC、CD的中点,∴EF∥BD,又AC⊥BD,∴AC⊥EF.∵AA1⊥平面ABCD,EF⊂平面ABCD,∴AA1⊥EF,又AA1∩AC=A,∴EF⊥平面A1AC,又A1C⊂平面A1AC,∴EF⊥A1C.同理可得EM⊥A1C,又EF∩EM=E,∴A1C⊥平面EFM.又A1C∥平面B1D1M,∴平面EFM⊥平面B1D1M. 。