还剩7页未读,继续阅读
文本内容:
2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题理A
一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知复数则复数的虚部是 A.B.C.1D.-12.已知函数是可导函数,且,则A.B.C.D.3.已知函数,则等于()A.B.C.D.4.曲线在点处的切线方程为 A.B.C.D.5.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为A.B.C.D.6.已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),则的图象可能是()A.B.C.D.7.函数的单调减区间是A.B.C.D.8.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃甲说“是丙或丁打碎的”乙说“是丁打碎的”丙说“我没有打碎玻璃”丁说“不是我打碎的”他们中只有一人说了谎,请问是()打碎了玻璃A.甲B.乙C.丙D.丁9.已知函数,则的极大值点为A.B.C.D.10.函数在区间上是减函数,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.11.已知函数-1在区间上至少有一个零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.12.函数是定义在区间上可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为()A.B.C.D.
二、填空题(本题共四小题,每题5分,共20分)13.复数,,则在复平面内所对应的点位于第______象限.
14.函数,则的值为__________.15.已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导函数的图象如图所示,给出关于的下列命题
①函数在处取得极小值;
②函数在是减函数,在是增函数;
③当时,函数有4个零点;
④如果当时,的最大值是2,那么的最小值为
0.其中所有的正确命题是__________写出正确命题的序号.16.国务院批准从xx年起,将每年8月8日设置为“全民健身日”,为响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所.如图,有一个长方形地块,边为,为.地块的一角是草坪(图中阴影部分),其边缘线是以直线为对称轴,以为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带,,分别在边,上(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略不计),将隔离出的作为健身场所.则的面积为的最大值为____________(单位).
三、解答题(17题10分,其余每题12分,共70分)17.已知复数z满足|z|=,的虚部为
2.
(1)求z;
(2)设z,,在复平面对应的点分别为A,B,C,求的面积.18.已知函数,当时,的极大值为7;当时,有极小值.求
(1)的值;
(2)求函数在上的最小值.19.已知数列的前n项和.
(1)计算,,,;
(2)猜想的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.20.已知函数当时,求函数的极值;求函数的单调递增区间;当时,恒成立,求实数a的取值范围.21.已知函数(a>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明对任意x∈[1,+∞),有.22.已知函数.
(1)若函数在上是增函数,求正数的取值范围;
(2)当时,设函数的图象与x轴的交点为,,曲线在,两点处的切线斜率分别为,,求证+0
一、选择题1.C2.C3.D4.C5.A6.B7.D8.D9.D10.A11.A12.B
11.【详解】-1则,令可得在
(01)递减,在
(12)递增,时,,=2所以函数-1在区间上至少有一个零点转化为y=a+1与在区间上有交点,即a+12a
1.故选A.12.B【详解】构造函数,依题意可知,当时,,故函数在上为增函数.由于,故所求不等式可化为,所以,解得.故选B.
二、填空题13.一14..15.
①③④16.【详解】以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,可得设边缘线所在的抛物线为,把代入得,所以抛物线为设点,因为,所以过点P的切线EF的方程为,令,得;令得所以的面积为,即,而=;由得,,所以在上是增函数,在上是减函数,所以S在上有最大值
三、解答题17.
(1)
(2)118.
(1)a=﹣3,b=﹣9,c=2;
(2)f(x)最小值=﹣25,f(x)最大值=
2.19.
(1);
(2)见解析.试题解析
(1)依题设可得,当时,,即,即,故,,,;
(2)猜想.证明
①当时,猜想显然成立.
②假设时,猜想成立,即.那么,当时,,即.又,所以,从而.即时,猜想也成立.故由
①和
②,可知猜想成立.考点数列的递推数学归纳法20.
(1)的极小值是,无极大值;
(2);
(3).【详解】解时,,,令,解得或,令,解得,故在递增,在递减,在递增,而在处无定义,故的极小值是,无极大值;,当时,解得或,故函数在,递增,当时,解得,故函数在递增;,,令,则,,令,解得,在递增,在递减,即,故.21.
(1)详见解析
(2)详见解析【详解】
(1)解.
①当0<a≤1时,由f(x)<0,得[(1+a)x-1][(1-a)x+1]<0,解得;由f(x)>0,得[(1+a)x-1][(1-a)x+1]>0,解得.故函数f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).
②当a>1时,由f(x)<0,得或;由f(x)>0,得.故函数f(x)的单调递减区间为(0,),(,+∞),单调递增区间为.
(2)证明构造函数,则.因为Δ=(2a)2-4(1+a2)<0,所以(1+a2)x2-2ax+1>0,即g(x)<0.故g(x)在区间[1,+∞)上是减函数.又x≥1,所以g(x)≤g
(1)=-(1+a2)+1+a2=0.故对任意x∈[1,+∞),有f(x)≤2x-a2.22.
(1);
(2)见解析.【详解】
(1),∴,设,函数在上是增函数,∴在上恒成立,即在上恒成立,设,则,,∴,∴在上是增函数,∴,由在上恒成立,得,,∴,即的取值范围是.
(2),由,得,,不妨设.,,,+,设,则,时,,时,,所以为的极大值点,所以的极大值即最大值为,即,∵且,∴且,∴,∴+.。