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第25讲 解直角三角形及其应用
1.xx,河北如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是B第1题图A.mB.4mC.4mD.8m【解析】如答图,过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△CBE中,CE=BC·sin30°=8×=4m.∴h=CE=4m.第1题答图
2.xx,唐山丰南区二模在△ABC中,AB=AC=13,BC=24,则tanB的值为BA.B.C.D.【解析】如答图,过点A作AD⊥BC于点D.∵AB=AC=13,BC=24,∴BD=BC=
12.在Rt△ABD中,AB=13,BD=12,∴AD==
5.∴tanB==.第2题答图
3.xx,保定二模太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图所示的是太阳能电池板支撑架的截面示意图,其中线段AB,CD,EF表示支撑角钢,太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm,AB的倾斜角为30°,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与地面的接触点分别为D,F,CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少.结果保留根号第3题图【思路分析】延长BA交FD的延长线于点G,过点A作AH⊥DG于点H.根据题意,得AB=300cm,BE=AC=50cm,AH=50cm,∠AGH=30°.先求得AG=2AH=100cm,CG=150cm,继而由CD=CG可得CD的长.由EG=AB-BE+AG可得EG的长,根据EF=EG·tan∠EGF可得EF的长.解如答图,延长BA交FD的延长线于点G,过点A作AH⊥DG于点H.由题意,知AB=300cm,BE=AC=50cm,AH=50cm,∠AGH=30°.在Rt△AGH中,易得AG=2AH=100cm.∴CG=AC+AG=150cm.∴CD=CG=75cm.∵EG=AB-BE+AG=300-50+100=350cm,∴在Rt△EFG中,EF=EG·tan∠EGF=350·tan30°=350×=cm.∴支撑角钢CD的长为75cm,EF的长为cm.第3题答图. 解直角三角形例1在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=4,则AB的长为DA.B.C.D.【解析】∵sinA=,即=,∴AB=.针对训练1如图,在Rt△ABC中,斜边AB=3,BC=1,点D在AB上,且=,则tan∠BCD的值是C训练1题图A.B.1C.D.【解析】如答图,过点D作DE∥AC交BC于点E.∴∠BED=∠ACB=90°,==.∵AB=3,BC=1,∴BE=,CE=,BD=.在Rt△BDE中,DE==.∴tan∠BCD===.训练1答图 解直角三角形的实际应用例2xx,长沙,导学号5892921为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80km,∠A=45°,∠B=30°.1开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?2开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?结果精确到
0.1km,参考数据≈
1.41,≈
1.73例2题图【思路分析】1过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△BCD中,解直角三角形求出CD,进而在Rt△ACD中,求出AC,进而解答即可.2在Rt△BCD中,解直角三角形求出BD,在Rt△ACD中,求出AD,进而求出开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米.解1如答图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.∵在Rt△BCD中,∠B=30°,BC=80km,∴CD=BC·sin30°=80×=40km.∴在Rt△ACD中,AC===40km.∴AC+BC=40+80≈40×
1.41+80=
136.4km.答开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走
136.4km.2在Rt△BCD中,∵∠B=30°,BC=80km,∴BD=BC·cos30°=80×=40km.在Rt△ACD中,∵∠A=45°,CD=40km,∴AD===40km.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×
1.73=
109.2km.∴AC+BC-AB≈
136.4-
109.2=
27.2km.答开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走
27.2km.例2答图针对训练2xx,天津如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°,测得底部C处的俯角为58°.求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC.结果取整数,参考数据tan48°≈
1.11,tan58°≈
1.60训练2题图【思路分析】先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及两个直角三角形,应用其公共边构造关系式,进而可求出答案.解如答图,过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E.易知四边形ABCE是矩形.∴AE=BC=78,AB=CE.在Rt△ACE中,EC=AE·tan58°≈78×
1.60≈
125.∴AB=
125.在Rt△AED中,DE=AE·tan48°.∴CD=EC-DE=AE·tan58°-tan48°≈78×
1.60-
1.11≈
38.答甲建筑物的高度约为125m,乙建筑物的高度约为38m.训练2答图
一、选择题
1.xx,宜昌如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100m,∠PCA=35°,则小河宽PA为C第1题图A.100sin35°mB.100sin55°mC.100tan35°mD.100tan55°m【解析】∵PA⊥PB,PC=100m,∠PCA=35°,∴PA=PC·tan∠PCA=100tan35°m.
2.xx,长春如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道点A,B在同一水平面上.为了测量A,B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800m到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A,B两地之间的距离为D第2题图A.800sinαm B.800tanαm C.m D.m【解析】在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,∠ABC=α,AC=800m,∴AB==m.
3.xx,金华如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为B第3题图A.B.C.D.【解析】在Rt△ABC中,AB=.在Rt△ACD中,AD=.∴AB∶AD=∶=.
4.xx,绵阳一艘在南北航线上的测量船,于点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30nmile到达点C时,测得海岛B在点C的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离约是参考数据≈
1.732,≈
1.414BA.
4.64nmileB.
5.49nmileC.
6.12nmileD.
6.21nmile【解析】由题意,知∠BAC=30°,∠ACB=15°.如答图,过点B作BD⊥AC于点D,以点B为顶点,BC为一边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,则∠BED=30°,BE=CE.设BD=x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=x.∴AC=AD+DE+CE=2x+2x.∵AC=30,∴2x+2x=
30.解得x≈
5.
49.所以海岛B离此航线的最近距离约是
5.49nmile.第4题答图
5.xx,重庆A如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直.在教学楼底部点E处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7m,升旗台坡面CD的坡度i=1∶
0.75,坡长CD=2m.若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1m,则旗杆AB的高度约为参考数据sin58°≈
0.85,cos58°≈
0.53,tan58°≈
1.6B第5题图A.
12.6mB.
13.1mC.
14.7mD.
16.3m【解析】如答图,延长AB交ED的延长线于点M,过点C作CJ⊥DM于点J.易知四边形BMJC是矩形.在Rt△CJD中,==.设CJ=4k,DJ=3k.由题意,得9k2+16k2=
22.解得k=.∴BM=CJ=,DJ=.∵MJ=BC=1,∴EM=MJ+DJ+DE=.在Rt△AEM中,tan∠AEM=,∴
1.6≈.解得AB≈
13.1m.第5题答图
6.xx,苏州如图,某海监船以20nmile/h的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向.继续向东航行1h到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2h到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离即PC的长为D第6题图A.40nmileB.60nmileC.20nmileD.40nmile【解析】在△PAB中,∵∠PAB=90°,∠APB=30°,∴PB=2AB.由题意,得BC=2AB.∴PB=BC.∴∠C=∠CPB.易知∠ABP=∠C+∠CPB=60°,∴∠C=30°.∴PC=2PA.∵PA=AB·tan60°,∴PC=2×20×=40nmile.
7.xx,张家口一模如图,禁止捕鱼期间,某海上稽查队在某海域巡逻,上午某一时刻在A处接到指挥部通知,在他们东北方向距离12nmile的B处有一艘捕鱼船,正在沿南偏东75°方向以10nmile/h的速度航行,稽查队员立即乘坐巡逻船以14nmile/h的速度沿北偏东某一方向出发,在C处成功拦截捕鱼船,则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是B第7题图A.1hB.2hC.3hD.4h【解析】设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为xh.由题意,得∠ABC=45°+75°=120°,AB=12,BC=10x,AC=14x.如答图,过点A作AD⊥CB,交CB的延长线于点D.在Rt△ABD中,AB=12,∠ABD=180°-120°=60°,∴BD=AB·cos60°=6,AD=AB·sin60°=
6.∴CD=10x+
6.在Rt△ACD中,由勾股定理,得14x2=10x+62+
62.解得x=
2.答巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为2h.第7题答图
8.xx,重庆B如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20m到达点C,再经过一段坡度或坡比为i=1∶
0.75,坡长为10m的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40m到达点EA,B,C,D,E均在同一平面内.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为参考数据sin24°≈
0.41,cos24°≈
0.91,tan24°≈
0.45A第8题图A.
21.7mB.
22.4mC.
27.4mD.
28.8m【解析】如答图,过点B作BM⊥ED,交ED的延长线于点M,过点C作CN⊥DM于点N.在Rt△CDN中,∵==,∴设CN=4k,DN=3k.由题意,得3k2+4k2=
100.解得k=
2.∴CN=8,DN=
6.∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,MN=BC=
20.∴EM=MN+DN+DE=
66.在Rt△AEM中,tan24°=,∴
0.45≈.解得AB≈
21.7m.第8题答图
二、填空题
9.xx,广州如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=.第9题图【解析】∵旗杆高AB=8m,旗杆影子长BC=16m,∴tanC===.
10.xx,枣庄如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12m,则大厅两层之间的高度约为
6.2m.结果精确到
0.1m,参考数据sin31°≈
0.515,cos31°≈
0.857,tan31°≈
0.601第10题图【解析】在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∴BC=AB·sin∠BAC≈12×
0.515≈
6.2m.所以大厅两层之间的高度约为
6.2m.
11.xx,仙桃我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船B在海岛A,C附近捕鱼作业,已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上.在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上,此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向181+nmile处,则海岛A,C之间的距离为18nmile.结果保留根号第11题图【解析】如答图,过点A作AD⊥BC于点D.由题意知∠ACD=45°,∠ABD=30°.设AC=xnmile.在Rt△ACD中,AD=AC·sin∠ACD=x,进而可得CD=x.在Rt△ABD中,BD==x.由题意,得x+x=181+.解得x=
18.所以海岛A,C之间的距离为18nmile.第11题答图
12.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°.已知甲楼的高度AB是120m,则乙楼的高度CD是40m.结果保留根号第12题图【解析】由题意,可得∠BDA=∠ABD=45°,则AD=AB=120m.在Rt△ADC中,tan∠CAD=tan30°==.∴CD=40m.
三、解答题
13.xx,邢台模拟如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BE∶AB=3∶5,CE=,cos∠ACD=.求1cos∠ABC的值;2AC的长. 第13题图【思路分析】1根据“同角的余角相等”,得∠ABC=∠ACD,进而可得答案.2令BC=4k,AB=5k,则AC=3k.由BE∶AB=3∶5,知BE=3k,则CE=k,进而解答即可.解1在Rt△ACD与Rt△ABC中,∵∠ABC+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠ACD.∴cos∠ABC=cos∠ACD=.2在Rt△ABC中,=.令BC=4k,AB=5k,则AC=3k.∵BE∶AB=3∶5,∴BE=3k.∴CE=k.∵CE=,∴k=.∴AC=
3.
14.xx,绍兴如图
①,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接,图
③是图
②中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交点A处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在一条直线上,延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm.第14题图1窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数;2窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点A,B之间的距离.结果精确到
0.1cm,参考数据≈
1.732,≈
2.449【思路分析】1根据平行四边形的判定和性质可以解答本题.2根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长.解1∵AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,∴四边形ACDE是平行四边形.∴AC∥DE.∴∠DFB=∠CAB=85°.2如答图,过点C作CG⊥AB于点G.∵AC=20,∠CGA=90°,∠CAB=60°,∴CG=AC·sin∠CAB=10,AG=AC·cos∠CAB=
10.∵BD=40,CD=10,∴CB=
30.∴BG==
10.∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×
2.449≈
34.
5.所以此时点A,B之间的距离约为
34.5cm.第14题答图
15.xx,内江,导学号5892921如图所示的是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱AC的高为11m,灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°.路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域DE长为18m,从D,E两处测得路灯B的仰角分别为α和β,且tanα=6,tanβ=.求灯杆AB的长度.第15题图【思路分析】过点B作BF⊥CE交CE于点F,过点A作AG⊥BF交BF于点G,则FG=AC=
11.设BF=3x,则EF=4x,可得DF==x.由DE=18,求得x=
4.据此知BG=BF-GF=1,再求得∠BAG=30°,可得AB=2BG=
2.解如答图,过点B作BF⊥CE交CE于点F,过点A作AG⊥BF交BF于点G,则FG=AC=
11.∵tanβ=,∴设BF=3x,则EF=4x.在Rt△BDF中,DF===x.∵DE=18,∴x+4x=
18.∴x=
4.∴BF=
12.∴BG=BF-GF=12-11=
1.∵∠BAC=120°,∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°.∴AB=2BG=
2.答灯杆AB的长度为2m.第15题答图
1.xx,无锡,导学号5892921已知在△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积为15或
10.结果保留根号【解析】本题分两种情况.如答图,过点A作AD⊥BC交BC或BC的延长线于点D.1如答图
①,当AB,AC位于AD异侧时,在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,∴AD=AB·sinB=5,BD=AB·cosB=
5.在Rt△ACD中,∵AC=2,∴CD===.∴BC=BD+CD=
6.∴S△ABC=BC·AD=×6×5=
15.2如答图
②,当AB,AC在AD的同侧时,由1知,BD=5,CD=,则BC=BD-CD=4,∴S△ABC=BC·AD=×4×5=
10.综上所述,△ABC的面积是15或
10.第1题答图
2.xx,眉山如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则tan∠AOD=
2.第2题图【解析】如答图,连接BE交CD于点F.∵四边形BCEK是正方形,∴BF=CF,BE⊥CK.根据题意,得AC∥BK.∴△ACO∽△BKO.∴KO∶CO=BK∶AC=1∶
3.∴KO∶KF=1∶
2.∴KO=OF=CF=BF.在Rt△OBF中,tan∠BOF==
2.∵∠AOD=∠BOF,∴tan∠AOD=
2.第2题答图
3.xx,潍坊,导学号5892921如图,一艘渔船正以60nmile/h的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行
1.5h后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75nmile/h的速度继续航行h即可到达.结果保留根号第3题图【解析】如答图,过点P作PQ⊥AB,交AB的延长线于点Q,过点M作MN⊥AB,交AB的延长线于点N.在Rt△AQP中,∠PAQ=45°,则AQ=PQ=60×
1.5+BQ=90+BQ.∴BQ=PQ-
90.在Rt△BPQ中,∠BPQ=30°,则BQ=PQ·tan30°=PQ.∴PQ-90=PQ.∴PQ=453+.∴MN=PQ=453+.在Rt△BMN中,∠MBN=30°,∴BM=2MN=903+.所以渔船以75nmile/h的速度继续航行=h即可到达.第3题答图
4.xx,泰安如图,在△ABC中,AC=6,BC=10,tanC=,D是AC边上的动点不与点C重合,过点D作DE⊥BC,垂足为E,F是BD的中点,连接EF.设CD=x,△DEF的面积为S,则S关于x的函数解析式为S=-x2+x.第4题图【解析】在Rt△CDE中,tanC=,CD=x,∴DE=x,CE=x.∴BE=10-x.∴S△BED=·x=-x2+3x.∵DF=BF,∴S=S△BED=-x2+x.。