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第一课时 组合与组合数公式[教材研读]预习教材P21～24，思考以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[要点梳理]1．组合的定义从n个不同元素中取出mn≥m个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质[自我诊断]判断正确的打“√”，错误的打“×”1．从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C. 2．从1357中任取两个数相乘可得C个积． 3．123与321是同一个组合． 4．C＝5×4×3＝
60. [答案]
1.×
2.√
3.√
4.×思考区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？提示关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．1判断下列问题是组合问题还是排列问题
①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
③3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
④把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？2从5个不同元素a，b，c，d，e中任取2个，写出所有不同的组合．[思路导引] 对于1关键是看有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的即为组合问题；对于2每次取出两个元素即可，无顺序，但注意不重不漏．[解] 1
①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
③因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．
④因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．2要写出所有的组合，首先要把元素按一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出．如图所示因此可得所有组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．【温馨提示】 排列与组合的联系与区别联系二者都是从n个不同的元素中取mn≥m个元素．区别排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[跟踪训练]判断下列问题是组合问题还是排列问题．1从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？2从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？3a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？4a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？5某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？6某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？[解] 1两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．2两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．3单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．4冠、亚军是有顺序的，是排列问题．5命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．6命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．题型二 组合数的计算与证明思考我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么，“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？提示“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取出mm≤n个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．1计算
①C－CA；
②C＋2C＋C；
③C＋C＋C＋C＋C＋C.2证明mC＝nC.[思路导引] 利用组合数公式及性质求解．[解] 1
①C－CA＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝
0.
②原式＝C＋C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝
161700.
③原式＝C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝…＝C＋C＝C＝C＝＝
462.2证明左边＝m·＝＝n＝nC＝右边，∴mC＝nC.1有关组合数的两个公式的应用范畴是有所区别的，C＝常用于n，m为具体自然数的题目，一般偏向于具体组合数的计算；公式C＝常用于n，m为字母或含有字母的式子的题目，一般偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明．2关于组合数的性质1C＝C
①该性质反映了组合数的对称性，即从n个不同的元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着剩下的n－m个元素的一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系．
②当m时，通常不直接计算C，而改为计算C.3关于组合数的性质2C＝C＋C
①形式特点公式的左端下标为n＋1，右端下标为n，相差1，上标左端与右端的一个相同，右端的另一个比它们少1；
②作用常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．[跟踪训练]1．计算C＋C的值．[解] ∵∴
9.5≤n≤
10.
5.∵n∈N*，∴n＝
10.∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝
466.2．求使3C＝5A成立的x值．[解] 根据排列数和组合数公式，原方程可化为3·＝5·，即＝，即为x－3x－6＝
40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－
2.经检验知x＝11时原式成立．3．证明下列各等式．1C＝C；2C＋C＋C…＋C＝C.[证明] 1右边＝·＝·＝＝C＝左边，∴原式成立．2左边＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝右边，∴原式成立．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．1从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？2从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？3从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[思路导引] 利用组合数C求解时，确定好m、n的值，结合两个计数原理解题．[解] 1从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C＝＝45种不同的选法．2可把问题分两类第1类，选出2名男教师，有C种方法；第2类，选出2名女教师，有C种方法，即共有C＋C＝21种不同的选法．3从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有C·C＝×＝90种不同的选法．解答简单的组合问题的思路1弄清楚做的这件事是什么；2分析这件事是否需分类或分步完成；3结合两计数原理利用组合数公式求出结果．[跟踪训练]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．1从口袋内取出3个球，共有多少种取法？2从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？3从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[解] 1从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝
56.2从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝
21.3由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝
35.
1.本节课的重点是组合的概念、组合数公式及其性质、简单的组合应用问题，难点是组合数的性质及应用．2．本节课要重点掌握的规律方法1组合概念的理解，见典例1；2组合数的计算与证明，见典例2；3会解决简单的组合应用题，见典例
3.
3.本节课的易错点是利用组合数性质C＝C解题时，易误认为一定有x＝y，从而导致解题错误．事实上，C＝C⇔。
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