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第一课时 排列与排列数公式[教材研读]预习教材P14~20,思考以下问题1.排列的概念是什么?2.排列数的定义是什么?什么是排列数公式?3.排列数公式有哪些性质?[要点梳理]1.排列的概念从n个不同元素中取出mm≤n个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.相同排列的两个条件1元素相同.2顺序相同.3.排列数及排列数公式[自我诊断]判断正确的打“√”,错误的打“×”1.123与321为同一排列. 2.在一个排列中,同一个元素不能重复出现. 3.从1234中任选两个元素,就组成一个排列. 4.从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题. [答案]
1.×
2.√
3.×
4.√思考如何判断一个问题是否为排列问题?提示判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定,看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.下列问题是排列问题的为________只填序号.
①选2个小组分别去植树和种菜;
②选2个小组分别去种菜;
③某班40名同学在假期互发短信;
④由123三个数字可以组成多少个无重复数字的三位数?
⑤从40人中选5人组成篮球队,有多少种不同的选法?
⑥从1234中取两个数可以组成多少个不同的集合?[解析]
①是.植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
②不是.选2个小组分别去种菜,不存在顺序问题,不是排列问题.
③是.A给B发短信与B给A发短信是不同的,所以存在顺序问题,是排列问题.
④由123组成的三位数与顺序有关,是排列问题.
⑤,
⑥不存在顺序问题,不是排列问题.[答案]
①③④[变式]将典例中
③的“互发短信”改为“互通电话”,则此问题是排列问题吗?[解] 不是,互通电话与互发短信不同,与顺序无关,故不是排列问题.判断一个具体问题是否为排列问题的思路[跟踪训练]判断下列问题是否为排列问题1某班共有50名同学,现要投票选举正、副班长各一人,共有多少种可能的选举结果?2从23579五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数,有多少个不同的对数值?3有12个车站,共需准备多少种车票?4从集合M={x|1≤x≤9,x∈N}中任取相异的两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆+=1[解] 1是.选出的2人,担任正、副班长,职务不同,与顺序有关,所以是排列问题;2是.对数值与底数和真数的取值的不同有关系,与顺序有关;3是.起点站或终点站不同,则车票就不同,与顺序有关.4不是.焦点在x轴上的椭圆,方程中的a,b必须ab,a,b的大小一定,选出的两数较大的只能作a,较小的只能作b,与顺序无关,所以不是排列问题.题型二 排列数公式及应用思考你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?提示“排列”与“排列数”是两个不同的概念,排列是指“从n个不同元素中取出mm≤n个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.1用排列数表示55-n56-n…69-nn∈N*且n55;2计算2A+A;3求证A+mA=A.[思路导引] 12应是排列数公式的正、逆用;3中证明常采用排列数公式的阶乘形式.[解] 1∵55-n56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-55-n+1=15个元素,∴55-n56-n…69-n=A.22A+A=2×4×3×2+4×3×2×1=48+24=
72.3证明A+mA=+m·===A.1排列数的第一个公式A=nn-1…n-m+1适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要注意它的特点;2排列数的第二个公式A=适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等,在具体运用时,应注意先提取公因式,再计算,同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*,m∈N*”的运用.[跟踪训练]1.计算.[解] ===.2.求3A=4A中的x.[解] 原方程3A=4A可化为=,即=,化简,得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=
13.由题意知解得x≤
8.所以原方程的解为x=
6.1从1234四个数字中任取两个数字组成两位不同的数,一共可以组成多少个?2写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.[思路导引] 可采用树形图的方法列举,也可以直接利用排列数公式.[解] 1解法一把1234中任意一个数字排在第一个位置上,有4种排法;第一个位置排好后,第二个位置上的数字就有3种排法.由题意作树形图,如下.故组成的所有两位数为121314212324313234414243,共有12个.解法二从4个数字中任取2个,其排列个数为A=4×3=
12.2由题意作树形图,如下.故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1适用范围“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.2策略在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列.[跟踪训练]1.写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法.[解] 如图所示的树形图故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种.2.1有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二6班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?212名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?[解] 1从5个不同的科研小课题中选出3个,由3个学习兴趣小组进行研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.因此共有A=5×4×3=60种不同的安排方法.2从12名选手中选出3名获奖并安排奖次,共有A=12×11×10=1320种不同的获奖情况.
1.本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用.难点是排列数公式的计算与证明问题.2.本节课要重点掌握的规律方法1对排列概念的理解,见典例1;2利用排列数公式进行计算或证明,见典例2;3简单排列问题的解决方法,见典例
3.3.本节课的易错点是利用排列数公式A解决问题时,易忽视条件m≤n,且m∈N*,n∈N*.。