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第一课时 排列与排列数公式[教材研读]预习教材P14～20，思考以下问题1．排列的概念是什么？2．排列数的定义是什么？什么是排列数公式？3．排列数公式有哪些性质？[要点梳理]1．排列的概念从n个不同元素中取出mm≤n个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列的两个条件1元素相同．2顺序相同．3．排列数及排列数公式[自我诊断]判断正确的打“√”，错误的打“×”1．123与321为同一排列． 2．在一个排列中，同一个元素不能重复出现． 3．从1234中任选两个元素，就组成一个排列． 4．从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题． [答案]
1.×
2.√
3.×
4.√思考如何判断一个问题是否为排列问题？提示判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．下列问题是排列问题的为________只填序号．
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④由123三个数字可以组成多少个无重复数字的三位数？
⑤从40人中选5人组成篮球队，有多少种不同的选法？
⑥从1234中取两个数可以组成多少个不同的集合？[解析]
①是．植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
②不是．选2个小组分别去种菜，不存在顺序问题，不是排列问题．
③是．A给B发短信与B给A发短信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题．
④由123组成的三位数与顺序有关，是排列问题．
⑤，
⑥不存在顺序问题，不是排列问题．[答案]
①③④[变式]将典例中
③的“互发短信”改为“互通电话”，则此问题是排列问题吗？[解] 不是，互通电话与互发短信不同，与顺序无关，故不是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的思路[跟踪训练]判断下列问题是否为排列问题1某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？2从23579五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？3有12个车站，共需准备多少种车票？4从集合M＝{x|1≤x≤9，x∈N}中任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆＋＝1[解] 1是．选出的2人，担任正、副班长，职务不同，与顺序有关，所以是排列问题；2是．对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关；3是．起点站或终点站不同，则车票就不同，与顺序有关．4不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a，b必须ab，a，b的大小一定，选出的两数较大的只能作a，较小的只能作b，与顺序无关，所以不是排列问题．题型二 排列数公式及应用思考你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？提示“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同元素中取出mm≤n个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．1用排列数表示55－n56－n…69－nn∈N*且n55；2计算2A＋A；3求证A＋mA＝A.[思路导引] 12应是排列数公式的正、逆用；3中证明常采用排列数公式的阶乘形式．[解] 1∵55－n56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－55－n＋1＝15个元素，∴55－n56－n…69－n＝A.22A＋A＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝48＋24＝
72.3证明A＋mA＝＋m·＝＝＝A.1排列数的第一个公式A＝nn－1…n－m＋1适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点；2排列数的第二个公式A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的运用．[跟踪训练]1．计算.[解] ＝＝＝.2．求3A＝4A中的x.[解] 原方程3A＝4A可化为＝，即＝，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝
13.由题意知解得x≤
8.所以原方程的解为x＝
6.1从1234四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？2写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[思路导引] 可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排列数公式．[解] 1解法一把1234中任意一个数字排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置排好后，第二个位置上的数字就有3种排法．由题意作树形图，如下．故组成的所有两位数为121314212324313234414243，共有12个．解法二从4个数字中任取2个，其排列个数为A＝4×3＝
12.2由题意作树形图，如下．故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1适用范围“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．2策略在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．[跟踪训练]1．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．[解] 如图所示的树形图故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．2．1有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二6班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？212名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？[解] 1从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．因此共有A＝5×4×3＝60种不同的安排方法．2从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A＝12×11×10＝1320种不同的获奖情况．
1.本节课的重点是排列的概念、排列数公式及其简单应用．难点是排列数公式的计算与证明问题．2．本节课要重点掌握的规律方法1对排列概念的理解，见典例1；2利用排列数公式进行计算或证明，见典例2；3简单排列问题的解决方法，见典例
3.3．本节课的易错点是利用排列数公式A解决问题时，易忽视条件m≤n，且m∈N*，n∈N*.。
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