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文本内容:
第一章导数及其应用滚动训练一§
1.1~§
1.2
一、选择题1.自变量x从x0变化到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 A.从x0到x1的平均变化率B.在x=x1处的变化率C.在x=x1处的变化量D.在区间[x0,x1]上的导数考点 平均变化率题点 函数的平均变化率答案 A解析 =表示函数从x0到x1的平均变化率.2.下列求导结果正确的是 A.a-x2′=1-2xB.2′=3C.cos60°′=-sin60°D.[ln2x]′=考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 B解析 根据题意,依次分析选项对于A,a-x2′=a′-x2′=-2x,故A错误;对于B,2′=′=2××=3,故B正确;对于C,cos60°′=0,故C错误;对于D,[ln2x]′=2x′=,故D错误.故选B.3.函数y=x1-ax2a0,且y′|x=2=5,则实数a的值为 A.B.0C.1D.2考点 导数乘除法则及运算题点 导数乘除法则及运算答案 C解析 y′=1-ax2+x[1-ax2]′=1-ax2+x[21-ax-a]=1-ax2-2ax1-ax,由y′|x=2=1-2a2-4a1-2a=12a2-8a+1=5a0,解得a=
1.4.曲线y=lnx在点M处的切线过原点,则该切线的斜率为 A.1B.eC.-D.考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 D解析 设Mx0,lnx0,由y=lnx得y′=,所以切线斜率k==,所以切线方程为y-lnx0=x-x0.由题意得0-lnx0=0-x0=-1,即lnx0=1,所以x0=e.所以k==,故选D.5.已知函数fx=asinx+bx3+1a,b∈R,f′x为fx的导函数,则f2016+f-2016+f′2017-f′-2017等于 A.2017B.2016C.2D.0考点 导数的加减法则及运算题点 导数的加减法则及运算答案 C解析 函数的导数f′x=acosx+3bx2,则f′x为偶函数,则f′2017-f′-2017=f′2017-f′2017=0,由fx=asinx+bx3+1,得f2016=asin2016+b·20163+1,f-2016=-asin2016-b·20163+1,则f2016+f-2016=2,则f2016+f-2016+f′2017-f′-2017=2+0=2,故选C.6.设fx=lnx+1++ax+ba,b∈R且为常数,曲线y=fx与直线y=x在点00相切,则a+b的值为 A.-1B.1C.0D.2答案 A解析 由y=fx过点00得b=-1,∴fx=lnx+1++ax-1,∴f′x=++a,又∵曲线y=fx与直线y=x在点00相切,即曲线y=fx在点00处切线的斜率为,∴f′0=,即1++a=,∴a=0,故a+b=-1,选A.7.已知函数fx及其导数f′x,若存在x0使得fx0=f′x0,则称x0是fx的一个“巧值点”.给出四个函数
①fx=x2,
②fx=e-x,
③fx=lnx,
④fx=tanx,其中有“巧值点”的函数的个数是 A.1B.2C.3D.4考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 B解析 根据题意,依次分析所给的函数
①若fx=x2,则f′x=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,
①符合要求;
②若fx=e-x,则f′x=-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,
②不符合要求;
③fx=lnx,则f′x=,若lnx=,利用数形结合可知该方程存在实数解,
③符合要求;
④fx=tanx,则f′x=,即sinxcosx=1,变形得sin2x=2,无解,
④不符合要求,故选B.8.若函数fx=-eaxa0,b0的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值为 A.4B.2C.2D.考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 D解析 函数的导数为f′x=-eax·a,所以f′0=-e0·a=-,即在x=0处的切线斜率k=-,又f0=-e0=-,所以切点坐标为,所以切线方程为y+=-x,即ax+by+1=
0.圆心到直线ax+by+1=0的距离d==1,即a2+b2=1,所以a2+b2=1≥2ab,即0ab≤.又a2+b2=a+b2-2ab=1,所以a+b2=2ab+1≤1+1=2,即a+b≤,当且仅当a=b=时等号成立,所以a+b的最大值是,故选D.
二、填空题9.已知函数fx=mxm-n的导数为f′x=8x3,则mn=________.考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点 常数、幂函数的导数答案 解析 ∵函数fx=mxm-n的导数为f′x=mm-nxm-n-1,∴mm-n=8且m-n-1=3,解得m=2,n=-2,由此可得mn=2-2=.10.若某物体做运动方程为s=1-t2位移单位为m,时间单位为s的直线运动,则其在t=
1.2s时的瞬时速度v为________m/s.考点 导数的几何意义的应用题点 导数的物理意义答案
0.4解析 ∵s=t2-2t+1,∴s′=2t-2,∴v=s′|t=
1.2=2×
1.2-2=
0.4m/s.11.函数fx=xx-1x-2x-3x-4的导数为f′x,则f′1=________.考点 导数的乘除法则及运算题点 导数的乘除法则及运算答案 -6解析 ∵fx=xx-1x-2x-3x-4,令gx=xx-2x-3x-4,则fx=x-1gx∴f′x=x-1′gx+x-1g′x=gx+x-1g′x,则f′1=g1+1-1g′1=g1,∵g1=1×1-21-31-4=-6,∴f′1=g1=-
6.12.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为________.考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 解析 令y′=2x-=1,得x=1,故当点P坐标为11时,它到已知直线的距离最小,最小距离d==.
三、解答题13.已知a0,fx=ax2-2x+1+lnx+1,l是曲线y=fx在点P0,f0处的切线,求切线l的方程.考点 求函数在某点处的切线方程题点 求函数在某点处的切线方程解 ∵fx=ax2-2x+1+lnx+1,f0=1,∴f′x=2ax-2+,∴f′0=-1,∴切点P的坐标为01,l的斜率为-1,∴切线l的方程为x+y-1=
0.
四、探究与拓展14.已知函数fx=cosx+e-x+x2016,令f1x=f′x,f2x=f1′x,f3x=f2′x,…,fn+1x=fn′x,则f2017x等于 A.-sinx+e-xB.cosx-e-xC.-sinx-e-xD.-cosx+e-x考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 C解析 f1x=f′x=-sinx-e-x+2016x2015,f2x=f1′x=-cosx+e-x+2016×2015×x2014,f3x=f2′x=sinx-e-x+2016×2015×2014x2013,f4x=f3′x=cosx+e-x+2016×2015×2014×2013x2012,…,∴f2016x=f′2015x=cosx+e-x+2016×2015×2014×2013×…×1,∴f2017x=-sinx-e-x,故选C.15.已知函数fx=x3-3x及曲线y=fx上一点P1,-2,过点P作直线l.1若直线l与曲线y=fx相切于点P,求直线l的方程;2若直线l与曲线y=fx相切,且切点异于点P,求直线l的方程.考点 求函数过某点的切线方程题点 求函数过某点的切线方程解 1由fx=x3-3x,得f′x=3x2-
3.过点P且以P1,-2为切点的直线l的斜率为f′1=0,故所求直线l的方程为y=-
2.2设过点P1,-2的直线l与曲线y=fx相切于点x0,x-3x0.由f′x0=3x-3,得直线l的方程为y-x-3x0=3x-3x-x0.又直线l过点P1,-2,所以-2-x-3x0=3x-31-x0,即x0-12x0+2=3x-1x0-1,解得x0=1舍去或x0=-,故直线l的斜率k=-,故直线l的方程为y--2=-x-1,即9x+4y-1=
0.。