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第一章导数及其应用章末检测试卷一时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.由曲线y=x2,直线y=0和x=1所围成的图形的面积是 A.B.C.D.考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 C解析 由题意知,其围成的图形的面积为ʃx2dx==.2.函数fx的定义域为开区间a,b,导函数f′x在a,b内的图象如图所示,则函数fx在开区间a,b内极小值点的个数为 A.1B.2C.3D.0考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 A解析 设极值点依次为x1,x2,x3且ax1x2x3b,则fx在a,x1,x2,x3上单调递增,在x1,x2,x3,b上单调递减,因此,x1,x3是极大值点,只有x2是极小值点.3.已知某物体运动的路程与时间的关系为s=t3+lnt,则该物体在t=4时的速度为 A.B.C.D.考点 求瞬时速度题点 用极限的思想求瞬时速度答案 D解析 s′t=t2+,则该物体在t=4时的速度为s′|t=4=42+=.4.函数fx=x2-ln2x的单调递减区间是 A.B.C.,D.,考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间答案 A解析 因为f′x=2x-=,所以f′x≤0等价于解得0x≤.5.已知曲线fx=lnx在点2,f2处的切线与直线ax+y+1=0平行,则实数a的值为 A.B.-2C.2D.-答案 D解析 fx=lnx的导数为f′x=,可得曲线fx=lnx在点2,f2处的切线斜率为,由切线与直线ax+y+1=0平行,可得-a=,解得a=-.故选D.6.若函数fx=2xf′1+x2,则等于 A.-B.C.-D.-考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 C解析 f′x=2f′1+2x,则f′1=2f′1+2,∴f′1=-2,∴f′x=-4+2x,f′-1=-6,又f-1=-2f′1+1=5,∴=-.7.下列定积分不大于0的是 A.ʃ|x|dxB.ʃ1-|x|dxC.ʃ|x-1|dxD.ʃ|x|-1dx考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 D解析 A项,ʃ|x|dx=2ʃxdx=10;B项,ʃ1-|x|dx=ʃ1dx-ʃ|x|dx=2-10;C项,ʃ|x-1|dx=ʃ1-xdx==20;D项,ʃ|x|-1dx=ʃ|x|dx-ʃ1dx=1-20,故选D.8.若函数y1=sin2x1+,函数y2=x2+3,则x1-x22+y1-y22的最小值为 A.π+B.C.2D.考点 导数的综合运用题点 导数的综合运用答案 D解析 表示两函数图象上任意两点之间的距离,其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离.∵y′1=2cos2x1,令y′1=1,∴cos2x1=,∵x1∈∴x1=,∴y1=,故切点坐标为,切点到直线y2的距离为=,∴x1-x22+y1-y22的最小值为.故选D.9.设函数fx=x-lnxx0,则fx A.在区间,1,e内均有零点B.在区间,1,e内均无零点C.在区间内无零点,在区间1,e内有零点D.在区间内有零点,在区间1,e内无零点考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根答案 C解析 由题意得f′x=.令f′x0得x3;令f′x0得0x3;令f′x=0得x=
3.故函数fx在区间03内为减函数,在区间3,+∞内为增函数,在x=3处有极小值f3=1-ln
30.因为f1=0,fe=-10,f =+10,所以fx在区间内无零点,在区间1,e内有零点.10.函数fx在定义域R上的导函数是f′x,若fx=f2-x,且当x∈-∞,1时,x-1f′x
0.设a=f0,b=f,c=flog28,则 A.cabB.abcC.abcD.acb考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 A解析 ∵当x∈-∞,1时,x-1f′x0,∴f′x0,∴fx在区间-∞,1上为增函数.又∵fx=f2-x,∴fx的图象关于直线x=1对称,∴fx在区间1,+∞上为减函数.∵a=f0=f2,b=f,c=flog28=f3,∴cab.11.如果函数fx在[m,n]上存在x1,x2mx1x2n满足f′x1=,f′x2=,则称函数fx是[m,n]上的“双中值函数”.已知函数fx=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是 A.B.C.D.考点 数学思想方法在导数中的应用题点 转化与化归思想在导数中的应用答案 C解析 ∵fx=x3-x2+a,f′x=3x2-2x,在区间[0,a]上存在x1,x20x1x2a,满足f′x1=f′x2==a2-a,∴方程3x2-2x=a2-a在区间0,a上有两个不相等的解.令gx=3x2-2x-a2+a0xa,解得a
1.12.已知函数fx=ax3-3x2+1,若fx存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是 A.2,+∞B.-∞,-2C.1,+∞D.-∞,-1考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根答案 B解析 当a=0时,由fx=-3x2+1=0,解得x=±,函数fx有两个零点,不符合题意.当a0时,令f′x=3ax2-6x=3ax=0,解得x=0或x=0,此时f′x,fx随x的变化情况如下表x-∞,00f′x+0-0+fx↗极大值↘极小值↗∵当x→-∞时,fx→-∞,且f0=10,∴存在x00,使得fx0=0,不符合题意.当a0时,令f′x=3ax2-6x=3ax=0,解得x=0或x=0,此时f′x,fx随x的变化情况如下表x0f′x-0+0-fx↘极小值↗极大值↘∵f0=10,且当x→+∞时,fx→-∞,∴存在x00,使得fx0=
0.又fx存在唯一的零点x0,∴极小值f =a3-32+10,∴a2或a-
2.∵a0,∴a-
2.综上可知,a的取值范围是-∞,-2.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.若曲线y=kx+lnx在点1,k处的切线平行于x轴,则k=________.考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切线的斜率答案 -1解析 ∵y′=k+,∴y′|x=1=k+1=0,∴k=-
1.14.已知函数fx=-x3+ax在区间-11上是增函数,则实数a的取值范围是________.考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数或其范围答案 [3,+∞解析 由题意知f′x=-3x2+a≥0在区间-11上恒成立,则a≥3x2在区间-11上恒成立,故a≥
3.
15.已知函数y=xf′x的图象如图所示其中f′x是函数fx的导函数,给出以下说法
①函数fx在区间1,+∞上是增函数;
②函数fx在区间-11上无单调性;
③函数fx在x=-处取得极大值;
④函数fx在x=1处取得极小值.其中正确的说法有________.考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案
①④解析 由图象上可以发现,当x∈1,+∞时,xf′x0,于是f′x0,故fx在区间1,+∞上是增函数,故
①正确;当x∈-10时,f′x0,所以函数fx在区间-11上是减函数,
②错误,
③也错误;当0x1时,fx在区间01上是减函数,而在区间1,+∞上是增函数,所以函数fx在x=1处取得极小值,
④正确.16.若函数fx=x3-3a2x+aa0的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围为________.考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 解析 f′x=3x2-3a2a0,∴当x-a或xa时,f′x0,当-axa时,f′x0,则当x=a时,fx有极小值,当x=-a时,fx有极大值,由题意得解得a.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分已知fx=log3,x∈0,+∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列两个条件
①fx在01上是减函数,在[1,+∞上是增函数;
②fx的最小值是
1.若存在,求出a,b,若不存在,请说明理由.考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 设gx=,则g′x=,∵fx在01上是减函数,在[1,+∞上是增函数,∴gx在01上是减函数,在[1,+∞上是增函数,又∵fx的最小值为1,则gx的最小值为3,∴∴解得经检验,当a=1,b=1时,fx满足题设的两个条件.18.12分设函数fx=ax-52+6lnx,其中a∈R,fx的图象在点1,f1处的切线与y轴相交于点06.1求a的值;2求函数fx的单调区间与极值.考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题解 1∵fx=ax-52+6lnxx0,∴f′x=2ax-5+x0.令x=1,得f1=16a,f′1=6-8a,∴fx的图象在点1,f1处的切线方程为y-16a=6-8ax-1.∵切线与y轴相交于点06,∴6-16a=8a-6,∴a=.2由1知,fx=x-52+6lnxx0,f′x=x-5+=x0.令f′x=0,得x=2或x=
3.当0x2或x3时,f′x0,fx在区间02,3,+∞上为增函数;当2x3时,f′x0,fx在区间23上为减函数.故fx在x=2处取得极大值f2=+6ln2,在x=3处取得极小值f3=2+6ln
3.19.12分已知函数fx=xex-x-ax
2.1当a=时,求fx的单调区间;2当x≥0时,fx≥0,求实数a的取值范围.考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 1当a=时,fx=xex-1-x2,f′x=ex-1+xex-x=ex-1x+1.令f′x=0,则x=-1或0,当x∈-∞,-1时,f′x0;当x∈-10时,f′x0;当x∈0,+∞时,f′x
0.故fx在-∞,-1,0,+∞上单调递增,在-10上单调递减.2fx=xex-1-ax.令gx=ex-1-ax,则g′x=ex-a.若a≤1,则当x∈0,+∞时,g′x0,gx为增函数,而g0=0,从而当x≥0时,gx≥0,即fx≥
0.若a1,则当x∈0,lna时,g′x0,gx为减函数,而g0=0,从而当x∈0,lna时,gx0,即fx0,不符合题意.综上,实数a的取值范围为-∞,1].20.12分某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳a元a为常数,2≤a≤5的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为e为自然对数的底数万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元.1求分公司经营该产品一年的利润Lx万元与每件产品的售价x的函数关系式;2当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润Lx最大?并求出Lx的最大值.考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题解 1设该产品一年的销售量为Qx=,则=500,所以k=500e40,则该产品一年的销售量Qx=,则该产品一年的利润Lx=x-a-30=500e40·35≤x≤41.2L′x=500e40·.
①若2≤a≤4,则33≤a+31≤35,当35≤x≤41时,L′x≤0,Lx单调递减,所以当x=35时,Lx取得最大值为5005-ae5;
②若4a≤5,则35a+31≤36,令L′x=0,得x=a+31,易知当x=a+31时,Lx取得最大值为500e9-a.综上所述,当2≤a≤4,且每件产品的售价为35元时,该产品一年的利润最大,最大利润为5005-ae5万元;当4a≤5,且每件产品的售价为31+a元时,该产品一年的利润最大,最大利润为500e9-a万元.21.12分设fx=lnx,gx=fx+f′x.1求gx的最小值;2讨论gx与g的大小关系.考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小解 1由fx=lnx,得f′x=,即gx=lnx+,所以g′x=-=.令g′x=0,得x=
1.当x∈01时,g′x0,故gx在01上单调递减.当x∈1,+∞时,g′x0,故gx在1,+∞上单调递增,因此,x=1是gx的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.所以最小值为g1=
1.2g=-lnx+x.设hx=gx-g=2lnx-x+,则h′x=-≤0,即hx在0,+∞上单调递减.当x=1时,h1=0,即gx=g.当0x1时,hxh1=0,即gxg.当x1时,hxh1=0,即gxg.22.12分已知函数fx=x2-mlnx,hx=x2-x+a.1当a=0时,fx≥hx在1,+∞上恒成立,求实数m的取值范围;2当m=2时,若函数kx=fx-hx在区间13上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 1由fx≥hx,得m≤在1,+∞上恒成立.令gx=,则g′x=,当x∈1,e时,g′x0;当x∈e,+∞时,g′x0,所以gx在1,e上单调递减,在e,+∞上单调递增.故当x=e时,gx有最小值且最小值为ge=e.所以m≤e.即m的取值范围是-∞,e].2由题意,得kx=x-2lnx-a.令φx=x-2lnx,又函数kx在13上恰有两个不同零点,相当于函数φx=x-2lnx与直线y=a有两个不同的交点.φ′x=1-=,当x∈12时,φ′x0,φx单调递减,当x∈23时,φ′x0,φx单调递增.又φ1=1,φ2=2-2ln2,φ3=3-2ln3,要使直线y=a与函数φx=x-2lnx有两个交点,则2-2ln2a3-2ln
3.即实数a的取值范围是2-2ln23-2ln3.。