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第一章计数原理滚动训练二§
1.1~§
1.3
一、选择题1.设二项式n的展开式各项系数的和为a,所有二项式系数的和为b,若a+2b=80,则n的值为 A.8B.4C.3D.2考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 C解析 由题意a=4n,b=2n,∵a+2b=80,∴4n+2×2n-80=0,即2n2+2×2n-80=0,解得n=
3.2.已知甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 A.150种B.180种C.300种D.345种考点 排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题答案 D解析 由题知共有CCC+CCC=345种选法.3.3对夫妇去看电影,6个人坐成一排,若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性,则不同的坐法种数为 A.54B.60C.66D.72考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 B解析 记3位女性为a,b,c,其丈夫依次为A,B,C3位女性都相邻的可能情形有两类第一类,男性在两端如BAabcC,有2A种坐法;第二类,男性在一端如BCAabc,有2AA种坐法,故共有A2A+2=36种坐法.仅有两位女性相邻的可能情形也有两类第一类,这两人在一端如abBACc;第二类,这两人两端都有其他人如AabBCc,共有2A1+1=24种坐法.综上,满足题意的坐法共有36+24=60种.4.9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动,每组3人,则不同的分配方案种数为 A.CCAB.C.CCCD.以上都不对考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 C解析 分配方案分三步完成第一步,从9名同学中选3人到数学学习小组,有C种方法;第二步,从其余的6名同学中选3人到物理学习小组,有C种方法;第三步,剩余的3名同学到化学学习小组,有C种方法.根据分步乘法计数原理知,不同的分配方案共有CCC种.
5.1+x4的展开式中,含x2的项的系数为 A.10B.6C.4D.12考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 A解析 根据乘法公式,得因式1+中的1和1+x4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项;因式1+中的和1+x4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项.1+x4展开式的通项为Tk+1=Cxkk=01,…,4,故1+x4展开式中含x2的项为1·Cx2+·Cx3=10x2,即含x2的项的系数为
10.6.从集合{123,…,10}中选出由5个数组成的子集,使得这5个数中任何两个数的和不等于11,则这样的子集共有 A.10个B.16个C.20个D.32个考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 D解析 因为这10个数中两数之和为11的共有5组,即110,29,38,47,56,所以从10个数中任取5个数组成一个子集,使得这5个数中任何两个数的和不等于11的子集个数共有CCCCC=32个.7.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图1234567,所示的位置上,其中3盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有 A.2680种B.4320种C.4920种D.5140种考点 排列的应用题点 排列的简单应用答案 B解析 先将7盆花全排列,共有A种排法,其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5AA种,故所求摆放方法有A-5AA=4320种.8.在ax+17的展开式中,x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项,则实数a的值为 A.B.C.D.考点 展开式中系数的和问题题点 多项展开式中系数的和问题答案 A解析 ∵ax+17的二项展开式的通项为Tk+1=Cax7-k,∴x3的系数是Ca3,x2的系数是Ca2,x5的系数是Ca
5.∵x3的系数是x2的系数与x5的系数的等比中项,∴Ca32=Ca2×Ca5,∴a=.
二、填空题9.不等式A-n7的解集为________.考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式答案 {34}解析 由不等式A-n7,得n-1n-2-n7,整理得n2-4n-50,解得-1n
5.又因为n-1≥2且n∈N*,即n≥3且n∈N*,所以n=3或n=4,故不等式A-n7的解集为{34}.10.若x-m8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,其中a5=56,则a0+a2+a4+a6+a8=________.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 128解析 由已知条件可得a5=C·-m3=-56m3=56,∴m=-1,令x=1,则a0+a1+a2+…+a8=28,
①令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a8=0,
②由
①+
②,得a0+a2+a4+a6+a8==
128.11.若1-2x2017=a0+a1x+…+a2017x2017x∈R,则++…+的值为________.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 -1解析 1-2x2017=a0+a1x+…+a2017x2017,令x=,则2017=a0+++…+=0,其中a0=1,所以++…+=-
1.12.将A,B,C,D,E,F6个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种.用数字作答考点 排列的应用题点 排列的简单应用答案 480解析 按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘2即可.当C在左边第1个位置时,有A种排法,当C在左边第2个位置时有AA种排法,当C在左边第3个位置时,有AA+AA种排法.所以不同的排法共有2A+AA+AA+AA=480种.
三、解答题13.学校选派5名同学参加“华约”“北约”“卓越联盟”自主招生考试,每项考试至少选派1人参加,共有多少种不同的选派方法?考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题解 可先分组,再分配,分两个步骤完成.先把5名同学分成三组
①一组3人,另两组各1人,有种方法;
②一组1人,另两组各2人,有种方法.再把三组学生分配到“华约”“北约”“卓越联盟”参加考试,有A种方法.故不同的的选派方法共有A=150种.
四、探究与拓展14.若n∈N*,n100,且n的展开式中存在常数项,则所有满足条件的n的值的和是________.考点 二项式定理的应用题点 二项式定理的简单应用答案 950解析 n的展开式的通项为Tk+1=Cx3n-k·k=Cx3n-5k,令3n-5k=0,得n=k.当k=36,…,57时,n=510,…,95,故所有满足条件的n的值的和是5+10+…+95==
950.15.已知1-2xn=a0+a1x+a2x2+…+anxnn∈N*,且a2=60,求1n的值;2-+-+…+-1n的值.考点 二项式定理的应用题点 二项式定理的简单应用解 1因为T3=C-2x2=a2x2,所以a2=C-22=60,化简可得nn-1=30,且n∈N*,解得n=
6.2Tk+1=C-2xk=akxk,所以ak=C-2k,所以-1k=C,-+-+…+-1n=C+C+…+C=26-1=
63.。