2018-2019版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式滚动训练新人教A版选修4-5

第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式滚动训练三第三讲～第四讲

一、选择题1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则＋的最小值是　　A.B.C.D.答案　A解析　a＋b≥2＝4，∴＋≥.当且仅当·＝·，即a＝b＝8时取等号．2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为　　A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B答案　C解析　依数列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为数列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx

1.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1n∈N＋的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为　　A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案　C解析　当n＝1时，左端＝1＋2＋22，故选C.4．已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋c＝kx＋y＋z，则k等于　　A.B.C．9D．3答案　D解析　因为x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，所以a2＋b2＋c2x2＋y2＋z2＝ax＋by＋cz2，又a2＋b2＋c2x2＋y2＋z2≥ax＋by＋cz2，当且仅当＝＝＝k时，等号成立，则a＝kx，b＝ky，c＝kz，代入a2＋b2＋c2＝90，得k2x2＋y2＋z2＝90，于是k＝3，故选D.5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜n≥2，n∈N＋的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1不等式左边　　A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对答案　C解析　∵n＝kk≥2，k∈N＋时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，∴增加了两项，，少了一项.6．函数y＝5＋的最大值是　　A．6B．2C．5D．2答案　D解析　函数的定义域为

[13]，且y＞

0.由柯西不等式可得y＝5＋＝5＋×≤＝2，当且仅当＝，即x＝时，函数取得最大值2，故选D.7．若2x＋3y＋5z＝29，则函数μ＝＋＋的最大值为　　A.B．2C．2D.答案　C解析　由柯西不等式可得·1＋·1＋·12≤2x＋1＋3y＋4＋5z＋612＋12＋12，∵2x＋3y＋5z＝29，∴·1＋·1＋·12≤120，∴μ＝＋＋≤2，∴μ＝＋＋的最大值为

2.故选C.

二、填空题8．已知a，b，c都是正数，且2a＋b＋c＝6，则a2＋ab＋ac＋bc的最大值为________．答案　9解析　∵a，b，c都是正数，∴a2＋ab＋ac＋bc＝a＋ba＋c≤

2.∵2a＋b＋c＝6，∴a2＋ab＋ac＋bc≤9，∴a2＋ab＋ac＋bc的最大值为

9.9．已知两组数123和452530，若c1，c2，c3是452530的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．答案　220　180解析　由排序不等式知顺序和最大，反序和最小，故所求最大值为1×25＋2×30＋3×45＝220，最小值为1×45＋2×30＋3×25＝

180.10．已知实数x，y，z满足2x＋y＋3z＝32，则的最小值为________．答案　解析　∵12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得22＋12＋32·[x－12＋y＋22＋z2]≥2x－2＋y＋2＋3z2＝322，∴≥，当且仅当＝＝时，等号成立，即的最小值是.11．已知a，b，c都是正数，a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最小值为________．答案　解析　∵a＋2b＋3c·＝[2＋2＋2]·≥2＝1，当且仅当a＝3b＝9c时取等号，又a＋2b＋3c＝9，∴＋＋≥，即最小值为.

三、解答题12．设函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为M.1求实数M的值；2若不等式＋≤M其中a＞0恒成立，求实数a的取值范围．解　1因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－x－2|＝3，所以M＝

3.2因为＋·2≤[12＋2]a－x＋2＋x＝3a＋2，当且仅当＝·时，等号成立，即当x＝∈[－2，a]时，＋取得最大值，所以≤

3.又a＞0，所以0＜a≤

1.13．已知函数fx＝|x＋1|－|2x－2|.1求不等式fx≥x－1的解集；2若fx的最大值是m，且a，b，c均为正数，a＋b＋c＝m，求＋＋的最小值．解　1由已知可得或或解得0≤x≤

2.故不等式的解集为

[02]．2fx＝得最大值，∴m＝f1＝2，∴a＋b＋c＝

2.又a＋b＋c＝[2＋2＋2]·≥a＋b＋c2，∴＋＋≥a＋b＋c＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，故＋＋的最小值是

2.14．已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋2n＋1，bn＝1＋2＋…＋2n－1，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．解　由已知得an＝·n＋1＝n＋12，bn＝＝2n－

1.当n＝1时，a1＝4，b1＝1，则a1＞b1，当n＝2时，a2＝9，b2＝3，则a2＞b2，当n＝3时，a3＝16，b3＝7，则a3＞b3，当n＝4时，a4＝25，b4＝15，则a4＞b4，当n＝5时，a5＝36，b5＝31，则a5＞b5当n＝6时，a6＝49，b6＝63，则a6＜b6，当n＝7时，a7＝64，b7＝127，则a7＜b7，…，由此得到，当n∈N＋，n≤5时，an＞bn.猜想当n∈N＋，n≥6时，an＜bn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下

①当n＝6时，上面已证a6＜b

6.

②假设当n＝kk∈N＋，k≥6时，上述结论成立，即当k≥6时，k＋12＜2k－

1.当n＝k＋1时，要证ak＋1＜bk＋1，即证k＋22＜2k＋1－1，只需证k＋22＜2·2k－1，根据归纳假设，2·2k－1＞2[k＋12＋1]－1，所以只需证k＋22＜2k＋12＋1，即证k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3，即证k2＞

1.因为k≥6，所以此式显然成立．故当n＝k＋1时结论成立．由

①②可知，对任何n∈N＋，n≥6结论都成立．。