2018-2019版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷新人教A版选修4-5

第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷三时间90分钟　满分120分

一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分1．设a1≤a2≤a3…≤an，b1≤b2≤b3…≤bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为　　A．反序和≥乱序和≥顺序和B．反序和＝乱序和＝顺序和C．反序和≤乱序和≤顺序和D．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案　C2．已知m2＋n2＝2，t2＋s2＝8，则|mt＋ns|的最大值为　　A．2B．4C．8D．16答案　B解析　∵m2＋n2t2＋s2≥mt＋ns2，∴mt＋ns2≤2×8＝16，∴|mt＋ns|≤

4.当且仅当ms＝nt时，等号成立．3．已知a，b，c为正数，则a＋b＋c的最小值为　　A．1B.C．3D．4答案　D解析　a＋b＋c＝[2＋2]≥2＝22＝4，当且仅当a＋b＝c时取等号．4．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是　　A.B.C．2D.答案　B解析　1＝a＋b＋4c＝2＋2＋22＝[2＋2＋22]·12＋12＋12≥＋＋22·，∴＋＋22≤3，即当且仅当a＝b＝4c时等号成立．5．函数fx＝＋cosx，则fx的最大值是　　A.B.C．1D．2答案　A解析　由fx＝＋cosx，得fx＝＋cosx≤＝.当且仅当cosx＝时取等号.6．设a，b，c均为实数，则的最大值为　　A.B.C.D.答案　B解析　由a2＋2b2＋3c2≥2，即a2＋2b2＋3c2·≥a＋b＋c2，∴≤.∴≤.7．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝ax1＋bx2bx1＋ax2与4的大小关系是　　A．M＞4B．M＜4C．M≥4D．M≤4答案　C解析　ax1＋bx2bx1＋ax2＝[2＋2]·[2＋2]≥[x1＋x2]2＝x1＋x22＝

4.8．已知x＋y＋z＝1，则2x2＋3y2＋z2的最小值为　　A.B.C.D.答案　D解析　∵2x2＋3y2＋z2·≥x＋y＋z2＝1，∴2x2＋3y2＋z2≥.当且仅当＝＝时，等号成立．

二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分9．函数y＝5＋的最大值为__________．答案　6解析　由柯西不等式，得y＝5＋·≤·＝×2＝6，当且仅当5＝，即x＝时，等号成立．10．如图，在矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．答案　≥解析　由题图可知，阴影部分的面积等于a1b1＋a2b2，而空白部分的面积等于a1b2＋a2b1，根据顺序和≥反序和可知，答案为≥.11．已知0＜x＜10＜y＜1，则函数fx＝＋的最小值是________．答案　解析　由三角不等式，得＋≥＝.当且仅当x＝1－x，y＝1－y，即x＝，y＝时，等号成立．故fx的最小值为.12．设a＝－212，|b|＝6，则a·b的最小值为______，此时b＝________.答案　－18　4，－2，－4解析　根据柯西不等式的向量形成，有|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤×6＝

18.当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤

18.∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝4，－2，－4．

三、解答题本大题共6小题，每小题10分，共60分13．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．解　∵a＋b＋c＝[2＋2＋2]·≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为

2.14．2017·江苏已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤

8.证明　由柯西不等式，得ac＋bd2≤a2＋b2c2＋d2，因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以ac＋bd2≤64，因此ac＋bd≤

8.15．已知二次三项式fx＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证对于任何正数x1，x2，当x1x2＝1时，必有fx1fx2≥

1.证明　fx1fx2＝ax＋bx1＋c·ax＋bx2＋c≥[a2＋b＋c]2＝f2＝f21＝

1.故fx1fx2≥

1.16．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．解　x2＋2y2＋3z2·≥2＝3x＋2y＋z2，∴3z＋2y＋z2≤x2＋2y2＋3z2·＝12，∴－2≤3x＋2y＋z≤2，当且仅当x2＝9y2＝81z2，即x＝－，y＝－，z＝－时取“＝”．∴3x＋2y＋z的最小值为－

2.17．求三个实数x，y，z，使得它们同时满足下列方程2x＋3y＋z＝134x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝

82.解　将两个方程相加，得2x2＋3y＋32＋z＋22＝108，

①又第一个方程可变形为2x＋3y＋3＋z＋2＝18，

②由

①②及柯西不等式，得2x2＋3y＋32＋z＋22≥[2x＋3y＋3＋z＋2]2，即108≥×182＝108，即柯西不等式中的等号成立．所以2x＝3y＋3＝z＋2＝6，故x＝3，y＝1，z＝

4.18．设x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范围．解　由柯西不等式，得[42＋2＋22]·≥2＝x＋y＋z2，即25×1≥x＋y＋z

2.∴|x＋y＋z|≤5，∴－5≤x＋y＋z≤

5.∴x＋y＋z的取值范围是[－55]．。