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第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷三时间90分钟 满分120分
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分1.设a1≤a2≤a3…≤an,b1≤b2≤b3…≤bn为两组实数,在排序不等式中,顺序和,反序和,乱序和的大小关系为 A.反序和≥乱序和≥顺序和B.反序和=乱序和=顺序和C.反序和≤乱序和≤顺序和D.反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案 C2.已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为 A.2B.4C.8D.16答案 B解析 ∵m2+n2t2+s2≥mt+ns2,∴mt+ns2≤2×8=16,∴|mt+ns|≤
4.当且仅当ms=nt时,等号成立.3.已知a,b,c为正数,则a+b+c的最小值为 A.1B.C.3D.4答案 D解析 a+b+c=[2+2]≥2=22=4,当且仅当a+b=c时取等号.4.设a,b,c为正数,a+b+4c=1,则++2的最大值是 A.B.C.2D.答案 B解析 1=a+b+4c=2+2+22=[2+2+22]·12+12+12≥++22·,∴++22≤3,即当且仅当a=b=4c时等号成立.5.函数fx=+cosx,则fx的最大值是 A.B.C.1D.2答案 A解析 由fx=+cosx,得fx=+cosx≤=.当且仅当cosx=时取等号.6.设a,b,c均为实数,则的最大值为 A.B.C.D.答案 B解析 由a2+2b2+3c2≥2,即a2+2b2+3c2·≥a+b+c2,∴≤.∴≤.7.已知a,b,x1,x2∈R+,ab=1,x1+x2=2,则M=ax1+bx2bx1+ax2与4的大小关系是 A.M>4B.M<4C.M≥4D.M≤4答案 C解析 ax1+bx2bx1+ax2=[2+2]·[2+2]≥[x1+x2]2=x1+x22=
4.8.已知x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为 A.B.C.D.答案 D解析 ∵2x2+3y2+z2·≥x+y+z2=1,∴2x2+3y2+z2≥.当且仅当==时,等号成立.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分9.函数y=5+的最大值为__________.答案 6解析 由柯西不等式,得y=5+·≤·=×2=6,当且仅当5=,即x=时,等号成立.10.如图,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和.答案 ≥解析 由题图可知,阴影部分的面积等于a1b1+a2b2,而空白部分的面积等于a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和可知,答案为≥.11.已知0<x<10<y<1,则函数fx=+的最小值是________.答案 解析 由三角不等式,得+≥=.当且仅当x=1-x,y=1-y,即x=,y=时,等号成立.故fx的最小值为.12.设a=-212,|b|=6,则a·b的最小值为______,此时b=________.答案 -18 4,-2,-4解析 根据柯西不等式的向量形成,有|a·b|≤|a||b|,∴|a·b|≤×6=
18.当且仅当存在实数k,使a=kb时,等号成立.∴-18≤a·b≤
18.∴a·b的最小值为-18,此时b=-2a=4,-2,-4.
三、解答题本大题共6小题,每小题10分,共60分13.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,求++的最小值.解 ∵a+b+c=[2+2+2]·≥2=18,当且仅当a=b=c=3时等号成立.∴++≥2,∴++的最小值为
2.14.2017·江苏已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤
8.证明 由柯西不等式,得ac+bd2≤a2+b2c2+d2,因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以ac+bd2≤64,因此ac+bd≤
8.15.已知二次三项式fx=ax2+bx+c的所有系数均为正数,且a+b+c=1,求证对于任何正数x1,x2,当x1x2=1时,必有fx1fx2≥
1.证明 fx1fx2=ax+bx1+c·ax+bx2+c≥[a2+b+c]2=f2=f21=
1.故fx1fx2≥
1.16.已知x2+2y2+3z2=,求3x+2y+z的最小值.解 x2+2y2+3z2·≥2=3x+2y+z2,∴3z+2y+z2≤x2+2y2+3z2·=12,∴-2≤3x+2y+z≤2,当且仅当x2=9y2=81z2,即x=-,y=-,z=-时取“=”.∴3x+2y+z的最小值为-
2.17.求三个实数x,y,z,使得它们同时满足下列方程2x+3y+z=134x2+9y2+z2-2x+15y+3z=
82.解 将两个方程相加,得2x2+3y+32+z+22=108,
①又第一个方程可变形为2x+3y+3+z+2=18,
②由
①②及柯西不等式,得2x2+3y+32+z+22≥[2x+3y+3+z+2]2,即108≥×182=108,即柯西不等式中的等号成立.所以2x=3y+3=z+2=6,故x=3,y=1,z=
4.18.设x,y,z∈R,且++=1,求x+y+z的取值范围.解 由柯西不等式,得[42+2+22]·≥2=x+y+z2,即25×1≥x+y+z
2.∴|x+y+z|≤5,∴-5≤x+y+z≤
5.∴x+y+z的取值范围是[-55].。