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第一章机械振动章末总结
一、简谐运动的图像如图1所示,简谐运动的图像反映的是位移随时间的变化规律,图像不代表质点运动的轨迹.由图像可以获得以下信息图11可以确定振动物体在任一时刻的位移.如图中对应t
1、t2时刻的位移分别为x1=+7cm,x2=-5cm.2确定振动的振幅.图中最大位移的值等于振幅,由图可以看出振动的振幅是10cm.3确定振动的周期和频率.振动图像上一个完整的正弦或余弦函数图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期.由图可知,OD、AE、BF的时间间隔都等于振动周期,T=
0.2s,频率f==5Hz.4确定各时刻质点的振动方向.例如图中的t1时刻,质点正远离平衡位置向位移的正方向运动;在t3时刻,质点正向着平衡位置运动.5比较不同时刻质点回复力或加速度的大小和方向.例如在图中,t1时刻质点位移x1为正,则回复力或加速度a1为负;t2时刻质点位移x2为负,则回复力或加速度a2为正,又因为|x1|>|x2|,所以|F1||F2|或|a1|>|a2|.例1 多选一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系图像如图2所示,由图可知 图2A.频率是2HzB.振幅是5cmC.t=
1.7s时的加速度为正,速度为负D.t=
0.5s时质点的回复力为零E.图中a、b两点速度大小相等、方向相反答案 CDE解析 由题图可知,质点振动的振幅为5m,周期为2s,由f=得频率为
0.5Hz,A、B选项错误.t=
1.7s时的位移为负,加速度为正,速度为负,C选项正确.t=
0.5s时质点在平衡位置,回复力为零,D选项正确.a、b两点速度大小相等、方向相反,故E选项正确.结合图像分析描述简谐运动的物理量的关系,分析的顺序为位移x回复力F加速度a速度v动能Ek势能Ep或者按下列顺序分析
二、简谐运动的周期性和对称性
1.周期性做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能恢复到原来的状态,因此在处理实际问题中,要注意到多解的可能性.
2.对称性1速率的对称性系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率.2加速度和回复力的对称性系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力.3时间的对称性系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等.振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等.例2 物体做简谐运动,通过A点时的速度为v,经过1s后物体第一次以相同速度v通过B点,再经过1s物体紧接着又通过B点,已知物体在2s内所走过的总路程为12cm,则该简谐运动的周期和振幅分别是多大?答案 T=4s,A=6cm或T=s,A=2cm解析 物体通过A点和B点时的速度大小相等,A、B两点一定关于平衡位置O对称.依题意作出物体可能的振动路径图如图甲、乙所示,在图甲中物体从A向右运动到B,即图中从1运动到2,时间为1s,从2运动到3,又经过1s,从1到3共经历了
0.5T,即
0.5T=2s,T=4s2A=12cm,A=6cm.在图乙中,物体从A先向左运动,当物体第一次以相同的速度通过B点时,即图中从1运动到2时,时间为1s,从2运动到3,又经过1s,同样A、B两点关于O点对称,从图中可以看出从1运动到3共经历了
1.5T,即
1.5T=2s,T=s
1.5×4A=12cm,A=2cm.针对训练 某质点做简谐运动,从平衡位置开始计时,经
0.2s第一次到达M点,如图3所示.再经过
0.1s第二次到达M点,求它再经多长时间第三次到达M点?图3答案
0.9s或s解析 第一种情况,质点由O点经过t1=
0.2s直接到达M,再经过t2=
0.1s,第二次到达M.由对称性可知,质点由点M到达C点所需要的时间与由点C返回M所需要的时间相等,所以质点由M到C的时间为t′==
0.05s.质点由点O到达C的时间为从点O到达M和从点M到达C的时间之和,这一时间恰好是,所以该振动的周期为T=4t1+t′=4×
0.2+
0.05s=1s,质点第三次到达M点的时间为t3=+2t1=s+2×
0.2s=
0.9s.第二种情况,质点由点O向B运动,然后返回到点M,历时t1=
0.2s,再由点M到达点C又返回M的时间为t2=
0.1s.设振动周期为T,由对称性可知t1-+=,所以T=s,质点第三次到达M点的时间为t3=T-t2=-
0.1s=s.
三、单摆周期公式的应用
1.单摆的周期公式T=2π,在单摆最大偏角不大于5°的情况下才成立,该公式提供了一种测定重力加速度的方法.
2.注意1单摆的周期T只与摆长l和g有关,而与振子的质量及振幅无关.2l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离,要区分摆长和摆线长.小球在光滑圆周轨道上小角度振动和双线摆也属于单摆,“l”实际为摆球重心到摆动所在圆弧的圆心的距离.3g为当地的重力加速度,当单摆处于超重或失重状态时g为等效重力加速度.例3 有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室,并各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”,他们通过校园网交换实验数据,并由计算机绘制了T2-l图线,如图4甲所示,去北京大学的同学所测实验结果对应的图线是________填“A”或“B”.另外,在南京大学做探究的同学还利用计算机绘制了两个单摆位于同一地点的振动图像如图乙,由图可知,两单摆摆长之比la∶lb=________.图4答案 B 4∶9解析 纬度越高,重力加速度g越大,由于=,所以B图线是在北京大学的同学所做实验的测量结果.从题图乙中可以看出Ta=s,Tb=2s所以==.例4 多选如图5所示,半径为R的光滑圆弧槽固定于水平面上,C为圆弧槽的最低点,O为圆弧槽的圆心位置.O点、圆弧槽上的A点和B点分别放上一个完全相同的小球,已知βα5°.现将三小球同时由静止释放,下列说法正确的是 图5A.A处小球比B处小球晚到达O点B.A处小球与B处小球同时到达O点C.O处小球比A处小球早到达C点D.O处小球比B处小球晚到达C点答案 BC解析 依据单摆的周期公式T=2π,由于lA=lB=R,A处小球与B处小球同时到达O点,故A错误,B正确;O处小球做自由落体运动,所用时间t==,所以O处小球比A处小球B处小球早到达C点,故C正确,D错误.。