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文本内容:
2.
3.1 双曲线的标准方程学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一 双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数小于F1F2的正数的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.知识点二 双曲线的标准方程思考 如图,类比椭圆中a,b,c的意义,你能在y轴上找一点B,使OB=b吗?答案 以双曲线与x轴的交点A为圆心,以线段OF2为半径画圆交y轴于点B,此时OB=b.梳理
1.在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系同椭圆中a,b,c之间的关系相同. ×
2.点A10,B-10,若AC-BC=4,则点C的轨迹是双曲线. ×
3.在双曲线标准方程-=1中,a0,b0且a≠b. ×
4.双曲线-=1的焦距为
4. √ 类型一 求双曲线的标准方程例1 求下列双曲线的标准方程1与椭圆+=1有公共焦点,且过点-2,;2焦距为26,且经过点M012;3过点P,Q,且焦点在坐标轴上.考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法、待定系数法求双曲线的标准方程解 1椭圆+=1的焦点为F10,-3,F
203.设双曲线的标准方程为-=1a0,b0,则有解得故所求双曲线的标准方程为-=
1.2因为双曲线经过点M012,所以M012为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=
12.又2c=26,所以c=13,所以b2=c2-a2=
25.所以双曲线的标准方程为-=
1.3设双曲线方程为mx2+ny2=1mn
0.因为点P,Q在双曲线上,所以解得故所求双曲线的标准方程为-=
1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤1定型即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.2设方程根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,
①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1AB
0.
②与双曲线-=1a>0,b>0共焦点的双曲线的标准方程可设为-=1-b2<k<a
2.3计算利用题中条件列出方程组,求出相关值.4结论写出双曲线的标准方程.跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程1c=,经过点A-52,焦点在x轴上;2经过点P4,-2和点Q2,2;3已知双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且过点,
4.考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法、待定系数法求双曲线的标准方程解 1设双曲线标准方程为-=1a0,b0,∵c=,∴b2=c2-a2=6-a
2.由题意知-=1,∴-=1,解得a2=5或a2=30舍.∴b2=1,∴双曲线的标准方程为-y2=
1.2设双曲线方程为mx2+ny2=1mn
0.∵点P4,-2和点Q2,2在双曲线上,∴解得∴双曲线的标准方程为-=
1.3椭圆+=1的焦点坐标为F10,-3,F203,故可设双曲线的标准方程为-=
1.由题意,知解得∴双曲线的标准方程为-=
1.类型二 由双曲线方程求参数值或范围例2 方程+=1表示双曲线,那么m的取值范围为____________________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 {m|-3<m<2或m>3}解析 依题意有或解得-3<m<2或m>
3.∴m的取值范围为{m|-3<m<2或m>3}.反思与感悟 方程表示双曲线的条件及参数范围求法1对于方程+=1,当mn0时,表示双曲线.进一步,当m0,n0时,表示焦点在x轴上的双曲线;当m0,n0时,表示焦点在y轴上的双曲线.2对于方程-=1,当mn0时,表示双曲线,且当m0,n0时,表示焦点在x轴上的双曲线;当m0,n0时,表示焦点在y轴上的双曲线.3已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式组求解参数的取值范围.跟踪训练2 1已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围为________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 -11解析 方程-=1表示双曲线,则1+k1-k>0,∴k+1k-1<0,∴-1<k<
1.2双曲线2x2-y2=k的焦距为6,则k的值为________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 ±6解析 当k0时,方程可化为-=1,则c2=+k=k,即2×=6,故k=
6.当k0时,方程可化为-=1,则c2=-k,故2×=6,解得k=-
6.综上所述,k=-6或
6.类型三 双曲线的定义及应用例3 1如图,已知双曲线的方程为-=1a0,b0,点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,AB=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为________.考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 4a+2m解析 由双曲线的定义,知AF1-AF2=2a,BF1-BF2=2a.又AF2+BF2=AB,所以△ABF1的周长为AF1+BF1+AB=4a+2AB=4a+2m.2已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为________.考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 16解析 由-=1,得a=3,b=4,c=
5.由定义和余弦定理,得PF1-PF2=±6,F1F=PF+PF-2PF1·PF2cos60°,所以102=PF1-PF22+PF1·PF2,所以PF1·PF2=
64.∴=PF1·PF2·sin60°=×64×=
16.引申探究在本例2中,若∠F1PF2=90°,其他条件不变,求△F1PF2的面积.解 由双曲线方程知a=3,b=4,c=
5.由双曲线的定义得|PF1-PF2|=2a=6,所以PF+PF-2PF1·PF2=
36.
①在Rt△F1PF2中,由勾股定理,得PF+PF=F1F=2c2=
100.
②将
②代入
①,得PF1·PF2=32,所以=PF1·PF2=
16.反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法1方法一
①根据双曲线的定义求出|PF1-PF2|=2a;
②利用余弦定理表示出PF1,PF2,F1F2之间满足的关系式;
③通过配方,利用整体的思想求出PF1·PF2的值;
④利用公式=×PF1·PF2sin∠F1PF2,求得面积.2方法二利用公式=×F1F2×|yP|yP为P点的纵坐标,求得面积.特别提醒利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件|PF1-PF2|=2a的变形使用,特别是与PF+PF,PF1·PF2间的关系.跟踪训练3 已知F1,F2分别为双曲线C x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则PF1·PF2=________.考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 4解析 设PF1=m,PF2=n,由余弦定理,得F1F=m2+n2-2mncos∠F1PF2,即m2+n2-mn=8,∴m-n2+mn=8,∴mn=4,即PF1·PF2=
4.
1.已知双曲线中的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为________________________.考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法、待定系数法求双曲线的标准方程答案 -=1或-=
12.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a=________.考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法、待定系数法求双曲线的标准方程答案 1解析 由a>00<a2<4,且4-a2=a+2,可得a=
1.
3.若方程+=1表示双曲线,则k的取值范围为________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 510解析 由题意得10-k5-k0,解得5k
10.
4.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3PF1=4PF2,则△PF1F2的面积为________.考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 24解析 由题意得解得又由F1F2=10,可得△PF1F2是直角三角形,则=PF1·PF2=
24.
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程1a=3,c=4,焦点在x轴上;2焦点为0,-6,06,经过点A-56;3以椭圆+=1长轴的顶点为焦点,且过3,.考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法、待定系数法求双曲线的标准方程解 1由题意知,a=3,c=
4.由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=42-32=
7.因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=
1.2由已知得c=6,且焦点在y轴上.因为点A-56在双曲线上,所以2a=|-|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=
20.所以所求双曲线的标准方程为-=
1.3由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且c=
2.设双曲线的标准方程为-=1a0,b0,则有a2+b2=c2=
8.因为过点3,,所以-=1,解得a2=3,b2=5,所以所求双曲线的标准方程为-=
1.
1.在双曲线定义中|PF1-PF2|=2a2aF1F2,不要漏了绝对值符号,当2a=F1F2时表示两条射线.
2.在双曲线的标准方程中,ab不一定成立,要注意与椭圆中a,b,c的区别.在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2=a2+b
2.
3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出a,b,c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2+ny2=1mn0的形式求解.
一、填空题
1.过点11,且=的双曲线的标准方程是______________________.考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法、待定系数法求双曲线的标准方程答案 -y2=1或-x2=1解析 由于=,∴b2=2a
2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1,代入11点,得a2=.此时双曲线的标准方程为-y2=1;同理求得当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-x2=
1.
2.“k2”是“方程+=1表示双曲线”的________条件.填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 充分不必要解析 k2⇒方程+=1表示双曲线,而方程+=1表示双曲线⇒4-kk-20⇒k2或k
4.所以“k2”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件.
3.已知双曲线-=1的一个焦点坐标为30,则m=________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 5解析 因为c==3,故m=
5.
4.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,若双曲线上的点P到点F1的距离为12,则点P到点F2的距离为________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 22或2解析 设F1为左焦点,F2为右焦点.当点P在双曲线左支上时,PF2-PF1=10,此时PF2=22;当点P在双曲线右支上时,PF1-PF2=10,此时PF2=
2.
5.若双曲线-=1的一个焦点到中心的距离为3,则m=________.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 7或-2解析
①当焦点在x轴上时,有m5,则c2=m+m-5=9,∴m=7;
②当焦点在y轴上时,有m0,则c2=-m+5-m=9,∴m=-
2.综上所述,m=7或m=-
2.
6.设椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个公共点,则cos∠F1PF2=________.考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 解析 设PF1=d1,PF2=d2,则d1+d2=2,
①|d1-d2|=
2.
②①2+
②2,得d+d=
18.
①2-
②2,得2d1d2=
6.又c=2,∴cos∠F1PF2===.
7.与椭圆+y2=1共焦点且过点Q21的双曲线的标准方程是____________.考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 -y2=1解析 由椭圆的方程,得共同的焦点坐标为±,
0.设双曲线的标准方程为-=1a0,b0,则由解得所以所求双曲线的标准方程为-y2=
1.
8.已知双曲线-=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且AB=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则m的值为________.考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 9解析 由已知,AB+AF2+BF2=
20.又AB=4,则AF2+BF2=
16.根据双曲线的定义,2a=AF2-AF1=BF2-BF1,所以4a=AF2+BF2-AF1+BF1=16-4=12,即a=3,所以m=a2=
9.
9.设F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,P是双曲线左支上一点.若PF1,PF2,F1F2成等差数列,且公差大于0,则∠F1PF2=________.考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 120°解析 由PF1+F1F2=2PF2,PF2-PF1=4,得PF1=6,PF2=
10.又F1F2=14,由余弦定理,可得cos∠F1PF2=-,∴∠F1PF2=120°.
10.设F1,F2分别是双曲线-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,·的值为________.答案 0解析 不妨设PxP,yPxP0,yP
0.由×2c×yP=1,得yP=,∴P,∴=,=,∴·=
0.
二、解答题
11.已知在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的标准方程.考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 由Rt△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,设PN=3k,PM=4k,则MN=5k3k+4k+5k=48,得k=4,则PN=12,PM=16,MN=
20.以MN中点为坐标原点,以MN所在直线为x轴,以线段MN的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,由PM-PN=4=2a,得a=2,a2=4,由MN=20,得2c=20,c=10,则b2=c2-a2=96,所以双曲线的标准方程为-=
1.
12.已知方程kx2+y2=4,其中k∈R,试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型.考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法、待定系数法求双曲线的标准方程解 1当k=0时,方程变为y=±2,表示两条与x轴平行的直线;2当k=1时,方程变为x2+y2=4,表示圆心为原点,以2为半径的圆;3当k0时,方程变为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线;4当0k1时,方程变为+=1,表示焦点在x轴上的椭圆;5当k1时,方程变为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.
13.已知双曲线过点3,-2且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.1求双曲线的标准方程;2若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且MF1+MF2=6,试判断△MF1F2的形状.考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 1椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c==,故设双曲线方程为-=
1.则有解得a2=3,b2=2,所以双曲线的标准方程为-=
1.2不妨设点M在双曲线的右支上,则有MF1-MF2=2,又MF1+MF2=6,解得MF1=4,MF2=
2.又F1F2=2,因此在△MF1F2中,MF1边最长,而cos∠MF2F1=0,所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.
三、探究与拓展
14.曲线mx2-y2=1m0的右顶点为A,若该双曲线右支上存在两点B,C使得△ABC为等腰直角三角形,则实数m的取值范围为______.考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 01解析 由题意可知,点A的坐标为,设直线AB的方程为y=tan45°,即x=y+,与双曲线方程联立,可得则m-1y2+2y=0,解得y=0或y=.由题意知y=为B点的纵坐标,且满足0,即0m
1.
15.已知0°α180°,当α变化时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数解 1当0°α90°时,方程为+=
1.
①当0°α45°时,0,方程表示焦点在y轴上的椭圆;
②当α=45°时,方程表示圆x2+y2=;
③当45°α90°时,0,方程表示焦点在x轴上的椭圆;2当α=90°时,方程为y2=1,方程表示两条平行直线y=±
1.3当90°α180°时,方程为-=1,方程表示焦点在y轴上的双曲线.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程-=1a0,b0-=1a0,b0焦点F1-c0,F2c0F10,-c,F20,c焦距F1F2=2c,c2=a2+b2。