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文本内容:
2.
4.1 抛物线的标准方程学习目标
1.掌握抛物线的标准方程.
2.明确抛物线标准方程中p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点 抛物线的标准方程思考 抛物线的标准方程有何特点?答案 1对称轴为坐标轴;2p为大于0的常数,其几何意义表示焦点到准线的距离;3准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称;4焦点、准线到原点的距离都等于.梳理 由于抛物线焦点位置不同,方程也就不同,故抛物线的标准方程有以下几种形式y2=2pxp0,y2=-2pxp0,x2=2pyp0,x2=-2pyp0.现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2pxp0x=-y2=-2pxp0x=x2=2pyp0y=-x2=-2pyp0y=1.抛物线的方程都是y关于x的二次函数.×2.方程x2=2pyp>0表示开口向上的抛物线.√3.抛物线的焦点到准线的距离为p.√4.抛物线的开口方向由一次项确定.√类型一 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例1 已知抛物线的方程y=ax2a≠0,求它的焦点坐标和准线方程.解 将抛物线方程化为标准方程x2=ya≠0,则抛物线焦点在y轴上,1当a>0时,p=,∴焦点坐标F,准线方程y=-.2当a<0时,p=-,∴焦点坐标F,准线方程y=-,综合12知抛物线y=ax2a≠0的焦点坐标是F,准线方程是y=-.反思与感悟 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时,应首先把方程化为标准形式,再分清抛物线是四种中的哪一种,然后写出焦点及准线方程.跟踪训练1 1若抛物线y2=2px的焦点坐标为10,则p=________;准线方程为________.答案 2 x=-1解析 因为抛物线的焦点坐标为10,所以=1,p=2,准线方程为x=-=-
1.2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
①y2=40x;
②4x2=y;
③3y2=5x;
④6y2+11x=
0.解
①焦点坐标为100,准线方程为x=-
10.
②由4x2=y得x2=y.∵2p=,∴p=.∴焦点坐标为,准线方程为y=-.
③由3y2=5x,得y2=x.∵2p=,∴p=.∴焦点坐标为,准线方程为x=-.
④由6y2+11x=0,得y2=-x,故焦点坐标为,准线方程为x=.类型二 求解抛物线的标准方程例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程.1抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;2抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,AF=
5.解 1双曲线方程可化为-=1,左顶点为-30,由题意设抛物线方程为y2=-2pxp0且=-3,∴p=6,∴抛物线的方程为y2=-12x.2设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2pxp≠0,Am,-3,由抛物线定义得5=AF=.又-32=2pm,∴p=±1或p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.反思与感悟 抛物线标准方程的求法1定义法建立适当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程.2待定系数法由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值.跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M-3,m到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.解 设抛物线方程为y2=-2pxp0,则焦点F,由题意,得解得或故所求的抛物线方程为y2=-8x,m=±
2.抛物线的焦点坐标为-20,准线方程为x=
2.类型三 抛物线在实际生活中的应用例3 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5m时,水面宽为8m,一小船宽4m,高2m,载货后船露出水面上的部分高m,问水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2pyp0,由题意可知,点B4,-5在抛物线上,故p=,得x2=-y.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA′,则A2,yA,由22=-yA,得yA=-.又知船面露出水面上的部分高为m,所以h=|yA|+=2m.所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时,小船开始不能通航.反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直角坐标系,利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练3 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处,喷出水流的最高点B高5m,且与OA所在的直线相距4m,水流落在以O为圆心,半径为9m的圆上,则管柱OA的长是多少?解 如图所示,以点B为坐标原点,过点B与地面平行的直线为x轴,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为x2=-2pyp0,因为点C5,-5在抛物线上,所以25=-2p·-5,因此2p=5,所以抛物线的方程为x2=-5y,点A-4,y0在抛物线上,所以16=-5y0,即y0=-,所以OA的长为5-=
1.8m.所以管柱OA的长为
1.8m.1.已知抛物线的准线方程为x=7,则抛物线的标准方程为________.答案 y2=-28x解析 可设抛物线方程为y2=-2pxp0,由准线方程为x=7知,=7,即p=
14.故抛物线的标准方程为y2=-28x.2.已知点-23与抛物线y2=2pxp0的焦点的距离是5,则p的值为________.答案 4解析 焦点的坐标为,由两点间的距离公式得=5⇒p=
4.3.若抛物线y2=2pxp0上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=________.答案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离,所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离,即=1,p=
2.4.若抛物线y2=2pxp0的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=________.答案 2解析 抛物线y2=2pxp0的准线方程是x=-,因为抛物线y2=2pxp0的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点F1-,0,所以-=-,解得p=
2.5.已知M为抛物线y2=4x上一动点,F为抛物线的焦点,定点N23,则MN+MF的最小值为________.答案 解析 将x=2代入抛物线方程,得y=±
2.∵32,∴点N在抛物线的外部.MN+MF≥NF,而F10,则NF==,∴MN+MF≥,当N,M,F三点共线时有最小值,最小值为.1.焦点在x轴上的抛物线,其标准方程可以统设为y2=mxm≠0,此时焦点为F,准线方程为x=-;焦点在y轴上的抛物线,其标准方程可以统设为x2=mym≠0,此时焦点为F,准线方程为y=-.2.设M是抛物线上一点,焦点为F,则线段MF叫做抛物线的焦半径.若Mx0,y0在抛物线y2=2pxp0上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化,所以焦半径MF=x0+.
一、填空题1.抛物线y=x2的准线方程是________.答案 y=-1解析 由y=x2,得x2=4y,则抛物线的焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-
1.2.以坐标原点为顶点,-10为焦点的抛物线的方程为____________________.答案 y2=-4x解析 由题意可设抛物线的方程为y2=-2pxp0,则有-=-1,得p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x.3.经过点P4,-2的抛物线的标准方程为________.答案 y2=x或x2=-8y解析 设所求抛物线的标准方程为y2=2mxm≠0或x2=2nyn≠0,代入点P4,-2,解得m=或n=-4,所以所求抛物线的标准方程为y2=x或x2=-8y.4.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________.答案 y2=16x解析 ∵双曲线的方程为-=1,∴右顶点为40.设抛物线的标准方程为y2=2pxp0,则=4,即p=8,∴抛物线的标准方程为y2=16x.5.已知抛物线C1y=2x2与抛物线C2关于直线y=x对称,则C2的准线方程是________.答案 x=-解析 y=2x2关于y=x对称的曲线为抛物线y2=x,其准线方程为x=-.6.已知一个圆的圆心C在抛物线y2=4x上,并且与x轴、抛物线的准线都相切,则此圆的半径为________.答案 2解析 设圆心Cx0,y0,则y=4x0,
①依题意得,半径r=|y0|=|x0+1|,
②由
①②得x0=1,故圆的半径r=
2.7.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________.答案 x2=±12y解析 因为顶点与焦点距离等于3,∴2p=12,又∵对称轴是y轴,∴抛物线的方程为x2=±12y.8.抛物线方程为7x+4y2=0,则焦点坐标为________.答案 解析 方程化为y2=-x,抛物线开口向左,2p=,=,故焦点坐标为.9.设抛物线y2=2pxp0的焦点为F,点A02.若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为________.答案 解析 如图所示,由已知,得点B的纵坐标为1,横坐标为,即B.将其代入y2=2px,得1=2p×,解得p=,故点B到准线的距离为+=p=.10.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为________.答案 12或1,-2解析 设Ax0,y0,F10,=x0,y0,=1-x0,-y0,·=x01-x0-y=-
4.∵y=4x0,∴x0-x-4x0+4=0,即x+3x0-4=0,x0=1或x0=-4舍.∴x0=1,y0=±
2.则点A的坐标为12或1,-2.11.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆x-32+y2=1上,则PQ的最小值是________.答案 -1解析 设圆x-32+y2=1的圆心为O′30,要求PQ的最小值,只需求PO′的最小值.设点P坐标为y,y0,则PO′===,∴PO′的最小值为,从而PQ的最小值为-
1.
二、解答题12.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的一个焦点,而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.解 因为交点在第一象限,抛物线的顶点在原点,其准线垂直于x轴,所以可设抛物线方程为y2=2pxp0,将点代入方程得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.准线方程为x=-1,由此可知双曲线方程中c=1,焦点为-10,10,点到两焦点距离之差2a=1,所以双曲线的标准方程为-=
1.13.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点AB不垂直于x轴,且AF+BF=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q60,求抛物线的方程.解 设抛物线的方程为y2=2pxp0则其准线方程为x=-.设Ax1,y1,Bx2,y2,∵AF+BF=8,∴x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.∵Q60在线段AB的中垂线上,∴QA=QB,即=,又y=2px1,y=2px2,∴x1-x2x1+x2-12+2p=
0.∵AB与x轴不垂直,∴x1≠x
2.故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=
4.从而抛物线方程为y2=8x.
三、探究与拓展14.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,AF+BF=3,则线段AB的中点到y轴的距离为________.答案 解析 设AxA,yA,BxB,yB,∵AF+BF=xA+xB+=3,∴xA+xB=.∴线段AB的中点到y轴的距离为=.15.设点P是抛物线y2=4x上的一个动点.1求点P到A-11的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;2若B32,求PB+PF的最小值.解 1如图,抛物线的焦点为F10,准线为x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为在曲线上求一点P,使点P到点A-1,1的距离与点P到F10的距离之和最小.显然,连结AF交曲线于点P,故最小值为=.2如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,此时,P1Q=P1F,那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4,即最小值为
4.。