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文本内容:
2.
6.1 曲线与方程学习目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点 曲线与方程的概念思考 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案 y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标x0，y0满足y0＝x0或y0＝－x0，即x0，y0是方程y＝±x的解；反之，如果x0，y0是方程y＝x或y＝－x的解，那么以x0，y0为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理 如果曲线C上点的坐标x，y都是方程fx，y＝0的解条件
①，即纯粹性，且以方程fx，y＝0的解x，y为坐标的点都在曲线C上条件
②，即完备性，那么，方程fx，y＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程fx，y＝0的曲线．特别提醒1曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程fx，y＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件
①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件
②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．2曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对x，y建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A30且垂直于x轴的直线的方程为x＝
3.√2．到y轴距离为2的点的直线方程x＝－
2.×3．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线．×类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程fx，y＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．填序号
①方程fx，y＝0的曲线是C；
②方程fx，y＝0的曲线不一定是C；
③fx，y＝0是曲线C的方程；
④以方程fx，y＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案
②解析 不论方程fx，y＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程fx，y＝0的曲线，都必须同时满足两层含义曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以
①，
③，
④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程fx，y＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程fx，y＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题
①坐标满足方程fx，y＝0的点都不在曲线C上；
②曲线C上的点的坐标都不满足方程fx，y＝0；
③坐标满足方程fx，y＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；
④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足fx，y＝
0.其中判断正确的是________．填序号答案
④解析 “坐标满足方程fx，y＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程fx，y＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故
①③错，
②显然错．类型二 点与曲线的位置关系例2 方程x－4y－12[－3＋log2x＋2y]＝0表示的曲线经过点A0，－3，B04，C，D80中的________个．答案 2解析 由对数的真数大于0，得x＋2y＞0，∴A0，－3，C不符合要求；将B04代入方程检验，符合要求；将D80代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系C上的点x0，y0fx，y＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M13，－4，M2－2，2是否在这个圆上．解 1设Mx0，y0是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即x0，y0是方程x2＋y2＝25的解．2设x0，y0是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，两边开方取算术平方根，得＝5，即点Mx0，y0到原点的距离等于5，点Mx0，y0是这个圆上的点．由1，2可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M13，－4的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，3，－4是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2－2，2的坐标代入方程x2＋y2＝25，左右两边不等，－2，2不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由．1到x轴距离为4的点的直线方程为y＝－4；2到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；3△ABC的顶点A0，－3，B10，C－10，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝
0.解 1因到x轴距离为4的点的直线方程还有一个y＝4，即不具备完备性．所以结论错误．2到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x|·|y|＝1，即xy＝±
1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．3中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0－3≤y≤0，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点a，－aa∈R，求k的取值范围．解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点a，－a，∴a2＋a2＋2a＋k＝
0.∴k＝－2a2－2a＝－22＋.∴k≤，∴k的取值范围是.1．已知坐标满足方程fx，y＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．填序号
①曲线C上的点的坐标都适合方程fx，y＝0；
②凡坐标不适合fx，y＝0的点都不在曲线C上；
③不在曲线C上的点的坐标必不适合fx，y＝0；
④不在曲线C上的点的坐标有些适合fx，y＝0，有些不适合fx，y＝
0.答案
③2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．填序号
①－20
②12
③40
④31答案
①③解析 将点－20和40代入方程后成立，而
②，
④代入后方程不成立，故只有
①③符合题意．3．若点M在方程x2＋y－12＝10所表示的曲线上，则实数m＝________.答案 －或2解析 依题意得2＋－m－12＝10，解得m＝2或m＝－.所以m的值为2或－.4．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为________．答案 两条相交直线解析 原方程可化为2x－y2x＋y＋3＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝
0.5．方程x2－42＋y2－42＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得∴或或或∴方程x2－42＋y2－42＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
一、填空题1．方程y＝3x－2x≥1表示的曲线为________．填序号
①一条直线
②一条射线
③一条线段
④不能确定答案
②解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－11x5，则下列四个点中在曲线C上的是________．填序号
①00
②715
③23
④44答案
③解析 由y＝2x－11x5得
①，
②的横坐标不满足题意，
④中坐标代入后不满足方程，故只有
③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为
2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．填序号
①y＝alogax；
②y＝；
③y＝logaax；
④y＝.答案
③④解析 由y＝logaax＝x，y＝＝x，得
③④表示同一条曲线．5．方程x－12＋＝0表示的是____________．答案 点12解析 由x－12＋＝0，知x－12＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以x－12＋＝0表示的是点12．6．若点M到两坐标轴的距离的积为2016，则点M的轨迹方程是________．答案 xy＝±2016解析 设Mx，y，则由题意得|x|·|y|＝2016，所以xy＝±
2016.7．直线l y＝kx＋1，抛物线C y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”答案 必要不充分解析 由kx＋12＝4x，得k2x2＋2k－2x＋1＝0，则当k≠0时，Δ＝[2k－2]2－4k2＝161－k0，得k1且k≠0，故“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k的值为________．答案 ±解析 联立方程组消去y并整理，得4k2＋1x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝1616k2－5＝0，即k＝±时，直线与椭圆有一个公共点．9．如果曲线C上的点满足方程Fx，y＝0，有以下说法
①曲线C的方程是Fx，y＝0；
②方程Fx，y＝0的曲线是C；
③坐标满足方程Fx，y＝0的点在曲线C上；
④坐标不满足方程Fx，y＝0的点不在曲线C上．其中正确的是________．填序号答案
④10．已知两定点A－20，B10，若动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所围的面积为________．答案 4π解析 设Px，y，∵PA＝2PB，∴x＋22＋y2＝4x－12＋4y2，∴x－22＋y2＝
4.∴点P的轨迹为以20为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．填序号
①△ABC的顶点坐标分别为A03，B－20，C20，则中线AO的方程是x＝0；
②到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；
③曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝
0.答案
③解析 对照曲线和方程的概念，
①中“中线AO的方程是x＝00≤y≤3”；而
②中，动点的轨迹方程为|y|＝
5.从而只有
③是正确的．
二、解答题12．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解 由x＝，得x2＋y2＝
4.又x≥0，∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线fx，y＝0与gx，y＝0的一个交点为Px0，y0．求证点P在曲线fx，y＋λgx，y＝0λ∈R上．证明 因为Px0，y0是两曲线的交点，所以点P的坐标既满足方程fx，y＝0，又满足方程gx，y＝0，即fx0，y0＝0且gx0，y0＝0，故fx0，y0＋λgx0，y0＝0，所以Px0，y0的坐标是方程fx，y＋λgx，y＝0的解，故点P在曲线fx，y＋λgx，y＝0λ∈R上．
三、探究与拓展14．已知方程
①x－y＝0；
②－＝0；
③x2－y2＝0；
④＝1，其中能表示直角坐标系的第
一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．答案
①解析
①是正确的；
②不正确，如点－1，－1在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；
③不正确．如点－11满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；
④不正确．如点00在曲线C上，但其坐标不满足方程＝
1.15．方程2x＋3y－5－1＝0表示的曲线是什么？解 因为2x＋3y－5－1＝0，所以可得或者－1＝0，即2x＋3y－5＝0x≥3或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0x≥3和一条直线x＝
4.。
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