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第2章圆锥曲线与方程章末复习学习目标
1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用,会用定义求标准方程.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.
3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,会利用几何性质解决相关问题.
4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
2.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.1定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.2定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1m0,n0且m≠n.3定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小.
3.离心率1定义法由椭圆双曲线的标准方程可知,不论椭圆双曲线的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2a2+b2=c2以及e=,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法.2方程法建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法.3几何法求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆双曲线的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观.
4.焦点三角形1椭圆的焦点三角形设P为椭圆+=1ab0上任意一点不在x轴上,F1,F2为焦点且∠F1PF2=α,则△PF1F2为焦点三角形如图.
①焦点三角形的面积为S=b2tan.
②焦点三角形的周长为L=2a+2c.2双曲线的焦点三角形焦点三角形的面积为S=.
5.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系,主要是直线与椭圆的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求定值、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法;还要多结合圆锥曲线的定义,利用“设而不求法”以及“点差法”等.
1.椭圆x2+4y2=1的离心率为. √
2.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是
4. ×
3.若椭圆x2+my2=1的离心率为,则它的长半轴长为
2. ×
4.双曲线-=1-2t10的焦距为
4. √ 类型一 圆锥曲线的定义及应用例1 设F1,F2为曲线C1+=1的左、右两个焦点,P是曲线C2-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 解析 由椭圆C1与双曲线C2的标准方程可知,两曲线的焦点相同.不妨设P点在双曲线C2的右支上.由椭圆和双曲线的定义,可得解得又F1F2=2=4,由余弦定理得cos∠F1PF2===,∴sin∠F1PF2==,∴=PF1·PF2·sin∠F1PF2=.反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决.跟踪训练1 已知椭圆+y2=1m1和双曲线-y2=1n0有相同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是____________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 直角三角形解析 设P为双曲线右支上的一点.对椭圆+y2=1m1,c2=m-1,PF1+PF2=2;对双曲线-y2=1,c2=n+1,PF1-PF2=
2.∴PF1=+,PF2=-,F1F=2c2=2m+n.而PF+PF=2m+n=2c2=F1F,∴△F1PF2是直角三角形.类型二 圆锥曲线的性质及其应用例2 1已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线的斜率为______________.2已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则该双曲线的离心率为________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 1± 2解析 1∵a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,∴C1的离心率为.∵双曲线C2的方程为-=1,∴C2的离心率为.∵C1与C2的离心率之积为,∴·=,∴2=,=±,∴C2的渐近线的斜率为±.2抛物线y2=4x的准线方程为x=-
1.又△FAB为直角三角形,则只有∠AFB=90°,如图,则A-12在双曲线上,代入双曲线方程可得a2=,于是c==.故e==.反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题,只要掌握基本公式和概念,并且充分理解题意,大都可以顺利求解.跟踪训练2 已知F1-c0,F2c0为椭圆+=1ab0的两个焦点,P为椭圆上一点,且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围为________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 解析 设Px,y,则·=-c-x,-y·c-x,-y=x2-c2+y2=c2,
①将y2=b2-x2代入
①式,解得x2==,又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=∈.类型三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆+=1ab0上的点P到左、右两焦点F1,F2的距离之和为2,离心率为.1求椭圆的标准方程;2过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,若y轴上一点M满足MA=MB,求直线l的斜率k的值.考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题解 1由题意知,PF1+PF2=2a=2,所以a=.又因为e==,所以c=×=1,所以b2=a2-c2=2-1=1,所以椭圆的标准方程为+y2=
1.2已知椭圆的右焦点为F210,直线斜率显然存在,设直线的方程为y=kx-1,两交点坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y
2.联立直线与椭圆的方程,得化简得1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0,Δ=8k2+
80.所以x1+x2=,y1+y2=kx1+x2-2k=.所以AB的中点坐标为.
①当k≠0时,AB的中垂线方程为y-=-,因为MA=MB,所以点M在AB的中垂线上,将点M的坐标代入直线方程,得+=,即2k2-7k+=0,解得k=或k=;
②当k=0时,AB的中垂线方程为x=0,满足题意.所以斜率k的取值为0,或.反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似,一般有两种方法1函数法用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解.2不等式法根据题意建立含参数的不等关系式,通过解不等式求参数范围.跟踪训练3 如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A,B,且与n=,-1共线.1求椭圆E的标准方程;2若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题解 1因为2c=2,所以c=
1.又=-a,b,且∥n,所以b=a,所以2b2=b2+1,所以b2=1,a2=
2.所以椭圆E的标准方程为+y2=
1.2设Px1,y1,Qx2,y2,把直线方程y=kx+m代入椭圆方程+y2=1,消去y,得2k2+1x2+4kmx+2m2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=.Δ=16k2-8m2+80,即m22k2+
1.*因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部,所以·0,即x1x2+y1y
20.又y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+mkx1+x2+m2=.由+0,得m2k2+.依题意且满足*得,m2,故实数m的取值范围是.例4 已知椭圆+=1,动直线l与椭圆交于B,C两点.若点B的坐标为,求△OBC面积的最大值.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线中的最值问题解 直线OB的方程为y=x,即3x-2y=0,设经过点C且平行于直线OB的直线l′的方程为y=x+b,则当l′与椭圆只有一个公共点时,△OBC的面积最大.联立化为3x2+3bx+b2-3=0,由Δ=9b2-12b2-3=0,解得b=±
2.当b=2时,C;当b=-2时,C.所以△OBC面积的最大值为××=.反思与感悟 圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决,有时化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和或差与第三边的不等关系求解.跟踪训练4 设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=.已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线中的最值问题解 设椭圆方程为+=1ab0,Mx,y为椭圆上的点,由=,得a=2b.PM2=x2+2=-32+4b2+3-b≤y≤b,若b,则当y=-b时PM2最大,即2=7,∴b=-,故矛盾.若b≥,当y=-时,4b2+3=7,b2=1,a2=4,所求方程为+y2=
1.
1.已知F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,弦AB过F1,若△ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 解析 因为△ABF2的周长为4a,所以a=2,得k=2,所以e===.
2.设椭圆+=1mn0的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线几何性质的运用答案 +=1解析 ∵y2=8x的焦点为20,∴+=1的右焦点为20,∴c=
2.又e==,∴m=
4.∵c2=m2-n2=4,∴n2=
12.∴椭圆方程为+=
1.
3.以抛物线y2=4x的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线的标准方程为____________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线几何性质的运用答案 x2-=1解析 易得抛物线的焦点坐标为10,所以双曲线的一个顶点坐标为
10.设双曲线的标准方程为-=1a0,b0,则a=
1.又离心率e==2,所以c=2,从而b2=c2-a2=
3.所以所求双曲线的标准方程为x2-=
1.
4.若抛物线y2=2x上的两点A,B到焦点的距离的和是5,则线段AB的中点P到y轴的距离是________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 2解析 设l是抛物线的准线,F为抛物线的焦点,A,B,P在l上的投影分别为A1,B1,P
1.则由抛物线的定义可知,AA1+BB1=AF+BF=5,所以PP1=AA1+BB1=,所以点P到y轴的距离为d=-=
2.
5.过椭圆+=1内一点P31,且被这点平分的弦所在直线的方程是____________.考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题答案 3x+4y-13=0解析 设直线与椭圆交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,由于A,B两点均在椭圆上,故+=1,+=1,两式相减得+=
0.又∵P是A,B的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2,∴kAB==-.∴直线AB的方程为y-1=-x-
3.即3x+4y-13=
0.在解决圆锥曲线问题时,待定系数法,“设而不求”思想,转化与化归思想是最常用的几种思想方法,“设而不求”思想,在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具,很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题.
一、填空题
1.设椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.若BF2=F1F2=2,则该椭圆的方程为____________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线几何性质的运用答案 +=1解析 ∵BF2=F1F2=2,∴a=2c=2,∴a=2,c=1,∴b=,∴椭圆的方程为+=
1.
2.已知双曲线-y2=1a0的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是____________.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 y=±x解析 ∵y2=8x的焦点是20,∴双曲线-y2=1的半焦距c=2,又虚半轴长b=1且a0,∴a==,∴双曲线的渐近线方程是y=±x.
3.若曲线+=1的一条准线方程为x=10,则m的值为________.考点 圆锥曲线的准线题点 准线方程的运用答案 6或86解析 ∵此曲线为焦点在x轴上的椭圆,∴a2=m+4,c==.而一条准线方程为x=10,∴=10,解得m=6或
86.
4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 解析 不妨设椭圆方程为+=1ab0,则有即
①÷
②得e=.
5.设P是椭圆+=1上的任意一点,又点Q的坐标为0,-4,则PQ的最大值为________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线中的最值问题答案 8解析 设P的坐标为x,y,则PQ2=x2+y+42=25+y+42=-2+-4≤y≤4,当y=4时,PQ2最大,此时PQ最大,且PQ的最大值为=
8.
6.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为__________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 解析 不妨设双曲线方程为-=1a0,b0,则可令Fc0,B0,b.直线FB bx+cy-bc=0与渐近线y=x垂直,所以-·=-1,即b2=ac,所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以e=或e=舍去.
7.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,其上一点P1,m到焦点的距离为5,则m的值为________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 ±4解析 由抛物线的定义知,点P到焦点的距离等于点P到准线的距离,所以1+=5,p=8,故抛物线的方程为y2=16x.将点P1,m代入方程,得m=±
4.
8.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若PF1=3,则PF2=________.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用答案 7解析 双曲线的一条渐近线方程为y=x,即=,又b2=9,∴a=
2.由双曲线定义知,|PF1-PF2|=2a=4,∴PF2=
7.
9.点P在椭圆x2+=1上,点Q在直线y=x+4上,若PQ的最小值为,则m=________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线中的最值问题答案 3解析 根据题意,与直线y=x+4平行且距离为的直线方程为y=x+2或y=x+6舍去,联立消去y,得m+1x2+4x+4-m=0,令Δ=16-4m+14-m=0,解得m=0或m=3,∵m0,∴m=
3.
10.已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l y=ex+a与x轴,y轴分别交于A,B两点,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设=e,则该椭圆的离心率e=________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 解析 因为点A,B分别是直线l y=ex+a与x轴,y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是,0,a.设点M的坐标是x0,y0,由=e,得*因为点M在椭圆上,所以+=1,将*式代入,得+=1,整理得e2+e-1=0,解得e=或e=舍去.
二、解答题
11.在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的一边AB在x轴上,另一边CD在x轴上方,且AB=8,BC=6,其中A-40,B
40.1若A,B为椭圆的焦点,且椭圆经过C,D两点,求该椭圆的方程;2若A,B为双曲线的焦点,且双曲线经过C,D两点,求双曲线的方程.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线几何性质的运用解 1∵A,B为椭圆的焦点,且椭圆经过C,D两点,根据椭圆的定义知,CA+CB=16=2a,∴a=
8.在椭圆中,b2=a2-c2=64-16=48,∴椭圆方程为+=
1.2∵A,B是双曲线的焦点,且双曲线经过C,D两点,根据双曲线的定义知,CA-CB=4=2a′,∴a′=
2.在双曲线中,b′2=c′2-a′2=16-4=12,∴双曲线方程为-=
1.
12.已知F1,F2是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,点N-,1在椭圆上,线段NF2与y轴的交点M满足+=
0.1求椭圆C的方程;2设P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.考点 圆锥曲线的定义题点 圆锥曲线定义的运用,焦点三角形解 1由已知,点N-,1在椭圆上,∴有+=1,
①又∵+=0,M在y轴上,∴M为NF2的中点,∴-+c=0,c=.∴a2-b2=2,
②由
①②解得b2=2b2=-1舍去,∴a2=4,故所求椭圆C的方程为+=
1.2设PF1=m,PF2=n,则S△F1PF2=mnsin=mn.由椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即m+n=
4.
③又由余弦定理得PF+PF-2PF1·PF2cos=F1F,即m2+n2-mn=
22.
④由
③2-
④,得mn=,∴S△F1PF2=.
13.已知椭圆E+=1ab0的一个顶点坐标为A0,,离心率e=.1求椭圆E的方程;2设动直线l y=kx+m与椭圆E相切于点P,且与直线x=4相交于点Q,求证以PQ为直径的圆过定点N1,
0.考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题1解 由已知可得∴a2=4,∴所求椭圆方程为+=
1.2证明 联立方程+=1与y=kx+m,消元得3+4k2x2+8kmx+4m2-12=
0.∵曲线E与直线只有一个公共点,∴Δ=0,化简可得m2=4k2+3,故m≠
0.设PxP,yP,故xP==-,yP=kxP+m=,故P.又由得Q44k+m.∵N10,=,=34k+m,∴·=3+--3=0,∴⊥,∴以PQ为直径的圆过定点N
10.
三、探究与拓展
14.已知F1,F2是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点.若AB∶BF2∶AF2=3∶4∶5,则椭圆C的离心率为________.考点 圆锥曲线的几何性质题点 圆锥曲线的离心率问题答案 解析 设AB=3tt>0,则BF2=4t,AF2=5t,则AB+BF2+AF2=12t.因为AB+BF2+AF2=4a,所以12t=4a,即t=a.又F1A+AF2=2a,所以F1A=2a-a=a,F1B=a,BF2=a.由AB∶BF2∶AF2=3∶4∶5,知AB⊥BF2,故F1B2+BF=4c2,即2+2=4c2,得a2=c
2.所以e2==,即e=.
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1ab0的离心率为,C为椭圆上位于第一象限内的一点.1若点C的坐标为,求a,b的值;2设A为椭圆的左顶点,B为椭圆上一点,且=,求直线AB的斜率.考点 直线与椭圆题点 利用直线和椭圆的位置关系求解相关问题解 1因为椭圆的离心率为,所以=,即=.
①又因为点C在椭圆上,所以+=
1.
②由
①②解得a2=9,b2=
5.因为ab0,所以a=3,b=.2由
①知,=,所以椭圆方程为+=1,即5x2+9y2=5a
2.设直线OC的方程为x=mym0,Bx1,y1,Cx2,y
2.由得5m2y2+9y2=5a2,所以y2=.因为y20,所以y2=.因为=,所以AB∥OC.可设直线AB的方程为x=my-a.由得5m2+9y2-10amy=0,所以y=0或y=,得y1=.因为=,所以x1+a,y1=,于是y2=2y1,即=m0,所以m=.所以直线AB的斜率为=.椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数大于F1F2的点的轨迹平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数小于F1F2的正数的点的轨迹平面内到一个定点F和一条定直线lF不在l上的距离相等的点的轨迹标准方程+=1或+=1ab0-=1或-=1a0,b0y2=2px或y2=-2px或x2=2py或x2=-2pyp0关系式a2-b2=c2a2+b2=c2图形封闭图形无限延展,但有渐近线y=±x或y=±x无限延展,没有渐近线变量范围|x|≤a,|y|≤b或|y|≤a,|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e=,且0e1e=,且e1e=1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小。