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文本内容:
第1课时 向量的数量积学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量的数量积一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．思考1 如何计算这个力所做的功？答案 W＝|F||s|cosθ.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理 平面向量的数量积1已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积或内积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.2我们规定零向量与任一向量的数量积为
0.特别提醒两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．知识点二 两个向量的夹角思考 把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？答案 角．梳理 两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a，b，如图所示．作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，称为向量a与b的夹角．2范围0°≤θ≤180°.3当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．4当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.知识点三 平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？答案 如图所示，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ.|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．思考2 向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？答案 由投影的定义知，二者不一定相同．梳理 1条件向量a与b的夹角为θ.2投影向量b在a方向上的投影|b|cosθ向量a在b方向上的投影|a|cosθ3a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．知识点四 平面向量数量积的性质及运算律思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量．思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案 由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．梳理 1数量积性质
①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
②当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
③当a⊥b时，a·b＝0；
④a·a＝|a|2或|a|＝.2数量积的运算律
①a·b＝b·a；
②λa·b＝a·λb＝λa·b＝λa·b；
③a＋b·c＝a·c＋b·c.1．向量数量积的运算结果是向量． × 2．向量a在向量b方向上的投影一定是正数． × 3．在等边△ABC中，向量与向量夹角为60°. × 提示 向量与向量夹角为120°.4．向量的数量积运算满足a·b·c＝a·b·c． × 5．λa·b＝λa·b. √ 类型一 求两向量的数量积例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当1a∥b；2a⊥b；3a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．解 1a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×－1＝－
20.2当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝
0.3当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝4×5×＝
10.反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是1求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；2分别求|a|和|b|；3求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．跟踪训练1 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________.答案 a2解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.∴·＝＋·＝·＋2＝a·a·cos60°＋a2＝a
2.类型二 求向量的模例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.解 a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝.|a＋b|＝＝＝＝
5.|a－b|＝＝＝＝
5.引申探究若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.解 a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝，|2a＋b|＝＝＝＝
5.|a－2b|＝＝＝＝
5.反思与感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值．解 |3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，∴a·b＝
25.∴|3a＋b|2＝3a＋b2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，故|3a＋b|＝
20.类型三 求向量的夹角例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×＝.|a|＝|2m＋n|＝＝＝＝，|b|＝|2n－3m|＝＝＝＝，a·b＝2m＋n·2n－3m＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a|＝2|b|＝2，且a·b＝－
1.1求a与b的夹角θ；2求a－2b·b；3当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解 1∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1，∴cosθ＝－，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.2a－2b·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－
3.3∵λa＋b与a－3b互相垂直，∴λa＋b·a－3b＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为________．答案 －2解析 向量b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－
2.2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.答案 1解析 ∵|a＋b|2＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
①|a－b|2＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝6，
②由
①－
②得4a·b＝4，∴a·b＝
1.3．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则a＋2b－c2＝________.答案 11解析 a＋2b－c2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos60°－4×2×3×cos60°＝
11.4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．答案 －25解析 易知||2＝||2＋||2，C＝90°.∴cosB＝，又cos〈，〉＝cos180°－B，∴·＝||||cos180°－B＝13×5×＝－
25.5．已知正三角形ABC的边长为1，求1·；2·；3·.解 1∵与的夹角为60°，∴·＝||||cos60°＝1×1×＝.2∵与的夹角为120°，∴·＝||||cos120°＝1×1×＝－.3∵与的夹角为60°，∴·＝||||cos60°＝1×1×＝.1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正当a≠0，b≠00°≤θ90°时，也可以为负当a≠0，b≠090°θ≤180°时，还可以为0当a＝0或b＝0或θ＝90°时．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．a·b＝|a||b|cosθ中，|b|cosθ和|a|cosθ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分．4．求投影有两种方法1b在a方向上的投影为|b|cosθθ为a，b的夹角，a在b方向上的投影为|a|cosθ.2b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.5．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
一、填空题1．已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|＝________.答案 解析 因为|a＋b|2＝19，所以a2＋2a·b＋b2＝19，所以2a·b＝19－4－9＝6，于是|a－b|＝＝＝.2．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b＝________.答案 －63．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为________．答案 135°解析 ∵cosθ＝＝＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.4．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影为________．答案 －1解析 向量a在向量b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－
1.5．已知a，b是非零向量，且a－2b⊥a，b－2a⊥b，则a与b的夹角是________．答案 解析 由a－2b·a＝0及b－2a·b＝0，得a2＝b2＝2|a||b|cosθ，所以cosθ＝，0∈[0，π]，所以θ＝.6．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a＋2b·a－3b＝________.答案 －48解析 由题意，得a·b＝|a||b|cos120°＝－12，则a＋2b·a－3b＝a2－6b2－a·b＝62－6×42－－12＝－
48.7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．答案 解析 如图所示，∵＝＋＝＋，＝－，∴·＝·－＝－||2－·＋||2＝－×1－×1×1×＋＝.8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．答案 120°9．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.答案 解析 ∵|a|＝＝＝3，|b|＝＝＝2，∴a·b＝3e1－2e2·3e1－e2＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，∴cosβ＝＝＝.10．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.答案 2解析 |2a－b|2＝2a－b2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝
2.11．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．答案 －25解析 ∵||2＝||2＋||2，∴∠B＝90°，∴·＝
0.∵cosC＝，cosA＝，∴·＝||||cos180°－C＝4×5×＝－
16.·＝||||cos180°－A＝5×3×＝－
9.∴·＋·＋·＝－
25.
二、解答题12．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．解 由向量垂直得即化简得∴cos〈a，b〉＝＝＝，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.13．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算12a＋b·2a－b；2|4a－2b|.解 12a＋b·2a－b＝2a2－b2＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝
0.2∵|4a－2b|2＝4a－2b2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82＝
256.∴|4a－2b|＝
16.
三、探究与拓展14．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，则|b|的取值范围为__________．答案 [1，＋∞解析 对不等式|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方得，xa＋2b2≥a＋b2，所以x2·|a|2＋4a·bx＋4|b|2≥|a|2＋2a·b＋|b|2，又a与b的夹角为，且|a|＝1，则有a·b＝|a|·|b|·cos＝|b|，所以有x2＋4x·|b|＋4|b|2≥1＋|b|＋|b|2，即x2＋2|b|x＋3|b|2－1－|b|≥0，此式对一切实数x恒成立，所以有Δ＝4|b|2－43|b|2－1－|b|≤0，即有2|b|2－|b|－1≥0，所以2|b|＋1|b|－1≥0，所以或所以|b|≥1或|b|≤－舍去．15．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，a－b·a＋b＝，且a·b＝.1求向量a，b的夹角；2求|a－b|.解 1设向量a，b的夹角为θ.∵a－b·a＋b＝，∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.又∵|a|＝1，∴|b|＝.又∵a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，∴cosθ＝，又∵θ∈[0°，180°]，∴向量a，b的夹角为45°.2∵|a－b|2＝a－b2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝，∴|a－b|＝.。
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