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文本内容:
第3章导数及其应用滚动训练
四一、填空题
1.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________.考点 四种命题题点 否命题答案 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.
2.已知fx＝x2，则曲线y＝fx过点P－10的切线方程是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 y＝0或4x＋y＋4＝0解析 设切点坐标为x0，x，∵f′x＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0x＋1，∴x＝2x0x0＋1，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4x＋1，即y＝0或4x＋y＋4＝
0.
3.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 解析 设双曲线的焦点为F1－c0，F2c0，虚轴两个端点为B10，－b，B20，b，∵cb，∴只有∠B1F1B2＝60°，∴tan30°＝，∴c＝b，又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝＝＝.
4.焦距是8，离心率等于
0.8的椭圆的标准方程为________________.考点 椭圆的标准方程题点 椭圆定义的理解答案 ＋＝1或＋＝1解析 由题意知解得又b2＝a2－c2，∴b2＝9，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝
1.
5.F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则·的最大值是________.考点 椭圆的几何性质题点 椭圆中的最值问题答案 1解析 设Px，y，依题意得点F1－，0，F2，0，·＝－－x－x＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，注意到－2≤x2－2≤1，因此·的最大值是
1.
6.已知函数y＝fx及其导函数y＝f′x的图象如图所示，则曲线y＝fx在点P处的切线方程是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 x－y－2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝fx在点P处的切线的斜率k＝f′2＝1，又过点P20，所以切线方程为x－y－2＝
0.
7.若曲线y＝x2＋alnxa0上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为________.考点 导数的几何意义题点 求切点坐标答案 11解析 y＝x2＋alnx的定义域为0，＋∞，由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，故所求的切点坐标是
11.
8.已知函数fx＝ax3＋x＋1的图象在点1，f1处的切线过点27，则a＝________.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数答案 1解析 ∵f′x＝3ax2＋1，∴f′1＝3a＋1，又f1＝a＋2，∴切线方程为y－a＋2＝3a＋1x－1，又点27在切线上，可得a＝
1.
9.若存在过点O00的直线l与曲线fx＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 1或解析 易知点O00在曲线fx＝x3－3x2＋2x上，1当O00是切点时，由f′x＝3x2－6x＋2得f′0＝2，则切线方程为y＝2x.由得x2－2x＋a＝0，由Δ＝4－4a＝0，得a＝
1.2当O00不是切点时，设切点为Px0，y0，则y0＝x－3x＋2x0，且k＝f′x0＝3x－6x0＋
2.
①又k＝＝x－3x0＋2，
②由
①，
②联立，得x0＝x0＝0舍去，∴k＝－，∴所求切线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝
0.依题意，Δ＝－4a＝0，∴a＝.综上，a＝1或a＝.
10.曲线fx＝在x＝0处的切线方程为__________________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 2x＋y＋1＝0解析 根据题意可知切点坐标为0，－1，f′x＝＝，故切线的斜率k＝f′0＝＝－2，则直线的方程为y－－1＝－2x－0，即2x＋y＋1＝
0.
二、解答题
11.求下列函数的导数.1y＝x2sinx；2y＝lnx＋；3y＝.考点 导数的运算题点 求函数导数解 1y′＝x2′sinx＋x2sinx′＝2xsinx＋x2cosx.2y′＝′＝lnx′＋′＝－.3y′＝′＝＝－.
12.已知函数fx＝x3－4x2＋5x－
4.1求曲线fx在点2，f2处的切线方程；2求经过点A2，－2的曲线fx的切线方程.考点 导数的几何意义题点 求切线方程解 1∵f′x＝3x2－8x＋5，∴f′2＝1，又f2＝－2，∴曲线fx在点2，f2处的切线方程为y－－2＝x－2，即x－y－4＝
0.2设切点坐标为x0，x－4x＋5x0－4，∵f′x0＝3x－8x0＋5，∴切线方程为y－－2＝3x－8x0＋5x－2，又切线过点x0，x－4x＋5x0－4，∴x－4x＋5x0－2＝3x－8x0＋5x0－2，整理得x0－22x0－1＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A2，－2的曲线fx的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝
0.
13.已知函数fx＝x3－2x2＋3xx∈R的图象为曲线C.1求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；2若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数范围解 1由题意得f′x＝x2－4x＋3，则f′x＝x－22－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞.2设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由2中条件并结合1中结论可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围是－∞，2－]∪13∪[2＋，＋∞.
三、探究与拓展
14.若函数fx＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为________.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数答案 ∪解析 f′x＝＋ax
0.∵函数fx＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴方程＋a＝2在区间0，＋∞上有解，即a＝2－在区间0，＋∞上有解.∴a＜
2.若直线2x－y＝0与曲线fx＝lnx＋ax相切，设切点为x02x
0.则解得x0＝e，此时a＝2－.综上可知，实数a的取值范围为∪.
15.已知函数fx＝ax3＋3x2－6ax－11，gx＝3x2＋6x＋12和直线m y＝kx＋9，且f′－1＝
0.1求a的值；2是否存在k，使直线m既是曲线y＝fx的切线，又是曲线y＝gx的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数解 1f′x＝3ax2＋6x－6a，f′－1＝0，即3a－6－6a＝0，∴a＝－
2.2存在.∵直线m恒过定点09，直线m是曲线y＝gx的切线，设切点为x03x＋6x0＋12，∵g′x0＝6x0＋6，∴切线方程为y－3x＋6x0＋12＝6x0＋6x－x0，将点09代入，得x0＝±1，当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋
9.由f′x＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝fx的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝fx的切线方程为y＝
9.∴公切线是y＝9又令f′x＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝
1.当x＝0时，y＝fx的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝fx的切线方程为y＝12x－10，∴公切线不是y＝12x＋
9.综上所述，公切线是y＝9，此时k＝
0.。
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