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第3章导数及其应用滚动训练
四一、填空题
1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是________________.考点 四种命题题点 否命题答案 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3解析 同时否定原命题的条件和结论,所得命题就是它的否命题.
2.已知fx=x2,则曲线y=fx过点P-10的切线方程是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 y=0或4x+y+4=0解析 设切点坐标为x0,x,∵f′x=2x,∴切线方程为y-0=2x0x+1,∴x=2x0x0+1,解得x0=0或x0=-2,∴所求切线方程为y=0或y=-4x+1,即y=0或4x+y+4=
0.
3.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线C的离心率为________.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 解析 设双曲线的焦点为F1-c0,F2c0,虚轴两个端点为B10,-b,B20,b,∵cb,∴只有∠B1F1B2=60°,∴tan30°=,∴c=b,又a2=c2-b2=2b2,∴e===.
4.焦距是8,离心率等于
0.8的椭圆的标准方程为________________.考点 椭圆的标准方程题点 椭圆定义的理解答案 +=1或+=1解析 由题意知解得又b2=a2-c2,∴b2=9,当焦点在x轴上时,椭圆方程为+=1,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=
1.
5.F1,F2是椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则·的最大值是________.考点 椭圆的几何性质题点 椭圆中的最值问题答案 1解析 设Px,y,依题意得点F1-,0,F2,0,·=--x-x+y2=x2+y2-3=x2-2,注意到-2≤x2-2≤1,因此·的最大值是
1.
6.已知函数y=fx及其导函数y=f′x的图象如图所示,则曲线y=fx在点P处的切线方程是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 x-y-2=0解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=fx在点P处的切线的斜率k=f′2=1,又过点P20,所以切线方程为x-y-2=
0.
7.若曲线y=x2+alnxa0上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为________.考点 导数的几何意义题点 求切点坐标答案 11解析 y=x2+alnx的定义域为0,+∞,由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4,则a=2,当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是
11.
8.已知函数fx=ax3+x+1的图象在点1,f1处的切线过点27,则a=________.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数答案 1解析 ∵f′x=3ax2+1,∴f′1=3a+1,又f1=a+2,∴切线方程为y-a+2=3a+1x-1,又点27在切线上,可得a=
1.
9.若存在过点O00的直线l与曲线fx=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 1或解析 易知点O00在曲线fx=x3-3x2+2x上,1当O00是切点时,由f′x=3x2-6x+2得f′0=2,则切线方程为y=2x.由得x2-2x+a=0,由Δ=4-4a=0,得a=
1.2当O00不是切点时,设切点为Px0,y0,则y0=x-3x+2x0,且k=f′x0=3x-6x0+
2.
①又k==x-3x0+2,
②由
①,
②联立,得x0=x0=0舍去,∴k=-,∴所求切线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=
0.依题意,Δ=-4a=0,∴a=.综上,a=1或a=.
10.曲线fx=在x=0处的切线方程为__________________.考点 导数的几何意义题点 求切线方程答案 2x+y+1=0解析 根据题意可知切点坐标为0,-1,f′x==,故切线的斜率k=f′0==-2,则直线的方程为y--1=-2x-0,即2x+y+1=
0.
二、解答题
11.求下列函数的导数.1y=x2sinx;2y=lnx+;3y=.考点 导数的运算题点 求函数导数解 1y′=x2′sinx+x2sinx′=2xsinx+x2cosx.2y′=′=lnx′+′=-.3y′=′==-.
12.已知函数fx=x3-4x2+5x-
4.1求曲线fx在点2,f2处的切线方程;2求经过点A2,-2的曲线fx的切线方程.考点 导数的几何意义题点 求切线方程解 1∵f′x=3x2-8x+5,∴f′2=1,又f2=-2,∴曲线fx在点2,f2处的切线方程为y--2=x-2,即x-y-4=
0.2设切点坐标为x0,x-4x+5x0-4,∵f′x0=3x-8x0+5,∴切线方程为y--2=3x-8x0+5x-2,又切线过点x0,x-4x+5x0-4,∴x-4x+5x0-2=3x-8x0+5x0-2,整理得x0-22x0-1=0,解得x0=2或x0=1,∴经过A2,-2的曲线fx的切线方程为x-y-4=0或y+2=
0.
13.已知函数fx=x3-2x2+3xx∈R的图象为曲线C.1求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;2若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数范围解 1由题意得f′x=x2-4x+3,则f′x=x-22-1≥-1,即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞.2设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由2中条件并结合1中结论可知,解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围是-∞,2-]∪13∪[2+,+∞.
三、探究与拓展
14.若函数fx=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围为________.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数答案 ∪解析 f′x=+ax
0.∵函数fx=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,∴方程+a=2在区间0,+∞上有解,即a=2-在区间0,+∞上有解.∴a<
2.若直线2x-y=0与曲线fx=lnx+ax相切,设切点为x02x
0.则解得x0=e,此时a=2-.综上可知,实数a的取值范围为∪.
15.已知函数fx=ax3+3x2-6ax-11,gx=3x2+6x+12和直线m y=kx+9,且f′-1=
0.1求a的值;2是否存在k,使直线m既是曲线y=fx的切线,又是曲线y=gx的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.考点 导数的几何意义题点 由切线方程求参数解 1f′x=3ax2+6x-6a,f′-1=0,即3a-6-6a=0,∴a=-
2.2存在.∵直线m恒过定点09,直线m是曲线y=gx的切线,设切点为x03x+6x0+12,∵g′x0=6x0+6,∴切线方程为y-3x+6x0+12=6x0+6x-x0,将点09代入,得x0=±1,当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+
9.由f′x=0,得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=fx的切线方程为y=-18;当x=2时,y=fx的切线方程为y=
9.∴公切线是y=9又令f′x=12,得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=
1.当x=0时,y=fx的切线方程为y=12x-11;当x=1时,y=fx的切线方程为y=12x-10,∴公切线不是y=12x+
9.综上所述,公切线是y=9,此时k=
0.。