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6.1 垂直关系的判定学习目标
1.掌握直线与平面垂直的判定定理重点;
2.理解二面角的有关概念,会求简单的二面角的大小重、难点;
3.掌握两平面垂直的判定定理重点.知识点一 直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a,l⊥b,aα,bα,a∩b=P⇒l⊥α图形语言【预习评价】1线面垂直判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗?提示 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则是无关紧要的.2在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化,影子的位置在移动,在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化,为多少?提示 不变,90°.3下列说法中正确的个数是
①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;
⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.A.1B.2C.3D.4解析 对
①②⑤,由于缺少“相交”二字,不能断定该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,可能斜交,也可能在平面内,所以是错误的.正确的是
③④,故选B.答案 B知识点二 二面角概念一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.图示平面角文字以二面角的棱上任一点为端点,在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图示符号OAα,OBβ,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围0°≤θ≤180°规定二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角记法棱为l、面分别为α,β的二面角记为α-l-β.如图所示,也可在α,β内棱以外的半平面部分分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-l-Q.【预习评价】1二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?提示 无关.如图,OA⊥l,OB⊥l,O′A′⊥l,O′B′⊥l,根据等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.2平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?提示 二面角的平面角.知识点三 平面与平面垂直
1.定义两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
2.画法两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.
3.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l⊥α,lβ⇒α⊥β【预习评价】1建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”,用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,则说明墙和地面什么关系?此时铅锤线与地面什么关系?提示 都是垂直.2两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗?提示 不一定.平行,相交,垂直都有可能.3已知l⊥α,则过l与α垂直的平面 A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在解析 由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.答案 C题型一 线面垂直的判定【例1】 如图所示,已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证AE⊥平面PBC.证明 ∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.又∵AE平面PAC,∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.规律方法 证明线面垂直的方法1由线线垂直证明线面垂直
①定义法;
②判定定理最常用要着力寻找平面内哪两条相交直线有时作辅助线;结合平面图形的性质如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.2平行转化法利用推论
①a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.【训练1】 如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.1求证SD⊥平面ABC;2若AB=BC,求证BD⊥平面SAC.证明 1因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS,所以∠ADS=∠BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.2因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由1知SD⊥BD.又因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.题型二 面面垂直的判定【例2】 如图,已知AB是圆O的直径,C是圆周上不同于A、B的点,PA⊥圆O所在的平面,AF⊥PC于F,求证平面AEF⊥平面PBC.证明 因为AB为圆O的直径,所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC,BC平面ABC,所以PA⊥BC.因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.而AF平面PAC,所以BC⊥AF.又AF⊥PC,BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC.又因为AF平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC.规律方法
1.由面面垂直的判定定理知,要证两个平面互相垂直,关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线,本题中证明平面AEF经过平面PBC的垂线AF较容易些.
2.证明面面垂直的常用方法1面面垂直的判定定理;2所成二面角是直二面角.【训练2】 已知三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ0<λ<
1.1求证不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;2当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD1证明 ∵∠BCD=90°,∴BC⊥CD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∵==λ0λ1,∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC.又∵EF平面BEF,∴平面BEF⊥平面ABC.故不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.2解 由1,得EF⊥平面ABC,BE平面ABC,∴EF⊥BE.要使平面BEF⊥平面ACD,只需BE⊥AC.∵∠BCD=90°,BC=CD=1,∴BD=.又∵AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,∴AB=,AC=,∴BE==,∴AE=,∴λ==.故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.【探究1】 如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.1证明平面PBE⊥平面PAB;2求二面角A-BE-P的大小.1证明 连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,所以PA⊥BE.又PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.2解 由1知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA==,所以∠PBA=60°.故二面角A-BE-P的大小是60°.【探究2】 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在平面,C是圆周上不同于A、B的一点,且AB=2,PA=BC=
1.1求证平面PAC⊥平面PBC;2求二面角P-BC-A的大小.1证明 ∵A,B,C在⊙O上,∴⊙O所在平面可记为平面ABC,∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴PA⊥BC.∵C在圆周上,且异于A、B,AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.又AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.又BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.2解 由1知,BC⊥平面PAC,∵PC平面PAC,∴PC⊥BC,又∵AC⊥BC,∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,PA=1,AC=,∠PAC=90°,∴tan∠PCA=,∴∠PCA=30°,所以二面角P-BC-A的大小是30°.【探究3】 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点.求二面角A-BD1-P的大小.解 过点P作BD
1、AD1的垂线,垂足分别是E、F,连接EF.∵AB⊥平面AA1D1D,PF平面AA1D1D,∴AB⊥PF.∵PF⊥AD1,且AB∩AD1=A,∴PF⊥平面ABD1,BD1平面ABD1,∴PF⊥BD1,又∵PE⊥BD1,且PE∩PF=P,∴BD1⊥平面PEF,EF平面PEF.∴EF⊥BD1,∴∠PEF为所求二面角的平面角.∵Rt△ADD1∽Rt△AFP,∴=.而AP=,DD1=1,AD1=,∴PF=.连接PB.在△PBD1中,PD1=PB=.∵PE⊥BD1,∴BE=BD1=.在Rt△PEB中,PE==.在Rt△PEF中,sin∠PEF==,∴∠PEF=30°.∴二面角A-BD1-P为30°.【探究4】 在直角梯形ABCD中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC=AB=a如图所示,将△ADC沿AC折起,将D翻到D′,记平面ACD′为α,平面ABC为β,平面BCD′为γ.若二面角α-AC-β为直二面角,求二面角β-BC-γ的大小.解 在直角梯形ABCD中,由已知,△DAC为等腰直角三角形,∴AC=a,∠CAB=45°.如图所示,过C作CH⊥AB,垂足为H,则AH=CH=a.由AB=2a,可得BC=a,∴AC⊥BC.取AC的中点E,连接D′E,则D′E⊥AC.∵二面角α-AC-β为直二面角,∴D′E⊥β.又∵BC平面β,∴BC⊥D′E.∵AC∩D′E=E,∴BC⊥α.而D′Cα,∴BC⊥D′C,∴∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角.由于∠D′CA=45°,∴二面角β-BC-γ为45°.规律方法 1求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中,利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值,其步骤为作角→证明→计算.2为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点,如是否为等腰三角形等.课堂达标
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,nαC.m∥n,n⊥β,mαD.m∥n,m⊥α,n⊥β解析 ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又mα,由面面垂直的判定定理,∴α⊥β.答案 C
2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定解析 易证AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC.答案 B
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=________.解析 ∵B1C1⊥平面ABB1A1,MN平面ABB1A1,∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M,B1M∩B1C1=B1,∴MN⊥平面C1B1M,∴MN⊥C1M,即∠C1MN=90°.答案 90°
4.已知α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断
①m⊥n;
②α⊥β;
③n⊥β;
④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________用序号表示.解析 当m⊥α,m⊥n时,有n∥α或nα.∴当n⊥β时,α⊥β,即
①③④⇒
②.或当α⊥β,m⊥α时,有m∥β或mβ.∴当n⊥β时m⊥n,即
②③④⇒
①.答案
①③④⇒
②或
②③④⇒
①
5.如右图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.求证平面EBD⊥平面ABCD.证明 如下图所示,连接AC,与BD交于点F,连接EF.∵F为▱ABCD的对角线AC与BD的交点,∴F为AC的中点.又E为SA的中点,∴EF为△SAC的中位线,∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD.又EF平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.课堂小结
1.直线和平面垂直的判定方法1利用线面垂直的定义;2利用线面垂直的判定定理;3利用下面两个结论
①若a∥b,a⊥α,则b⊥α;
②若α∥β,a⊥α,则a⊥β.
2.证明两个平面垂直的主要途径1利用面面垂直的定义;2面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的.
4.下面的结论,有助于判断面面垂直1m∥n,m⊥α,nβ⇒α⊥β;2m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β;3α∥β,γ⊥α⇒γ⊥β.基础过关
1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC和CD的中点,G是EF的中点,现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.那么,在四面体A-EFH中必有 A.HG⊥△AEF所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.AH⊥△EFH所在平面解析 ∵AD⊥DF,AB⊥BE,∴AH⊥HF,AH⊥HE.又∵EH∩FH=H,∴AH⊥面EFH.答案 D
2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点不同于A、B且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为 A.60°B.30°C.45°D.15°解析 由条件得PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=C,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°,故选C.答案 C
3.在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是 A.BC∥面PDFB.DF⊥面PAEC.面PDF⊥面ABCD.面PAE⊥面ABC解析 如图所示,∵BC∥DF,∴BC∥平面PDF,∴A正确.由BC⊥PE,BC⊥AE,PE∩AE=E,∴BC⊥平面PAE,∴DF⊥平面PAE,∴B正确.DF平面ABC,∴平面ABC⊥平面PAE,∴D正确.答案 C
4.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=,BC=2,则二面角D-BC-A的大小为________.解析 如图,由题意知AB=AC=BD=CD=,BC=AD=
2.取BC的中点E,连接DE,AE,则AE⊥BC,DE⊥BC,所以∠DEA为所求二面角的平面角.易得AE=DE=,又AD=2,所以∠DEA=90°.答案 90°
5.在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则ED=________.解析 如图,在Rt△ABC中,CD=AB.因为AC=6,BC=8,所以AB==
10.所以CD=
5.因为EC⊥平面ABC,CD平面ABC,所以EC⊥CD.所以ED===
13.答案
136.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=AA1,D是棱AA1的中点.证明平面BDC1⊥平面BDC.证明 由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A
1.又DC1平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.
7.如图,矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直,MB∥NC,MN⊥MB.1求证平面AMB∥平面DNC;2若MC⊥CB,求证BC⊥AC.证明 1因为MB∥NC,MB⃘平面DNC,NC平面DNC,所以MB∥平面DNC.因为四边形AMND为矩形,所以MA∥DN.又MA⃘平面DNC,DN平面DNC.所以MA∥平面DNC.又MA∩MB=M,且MA,MB平面AMB,所以平面AMB∥平面DNC.2因为四边形AMND是矩形,所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MBCN,且平面AMND∩平面MBCN=MN,所以AM⊥平面MBCN.因为BC平面MBCN,所以AM⊥BC.因为MC⊥BC,MC∩AM=M,所以BC⊥平面AMC.因为AC平面AMC,所以BC⊥AC.能力提升
8.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面 A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在解析 若异面直线m、n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.答案 B
9.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是 A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1解析 连接B1D1,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面A1B1C1D1,且A1C1A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1,又四边形A1B1C1D1是正方形,∴B1D1⊥A1C1,而B1D1∩BB1=B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D,而B1O平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O.答案 D
10.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段ABα,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是________.解析 如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB、OC,则OC⊥l,设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sinθ==·=sin30°·sin60°=.答案
11.三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=,AB=10,BC=8,CA=6,则二面角P-AC-B的大小为________.解析 由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点.取AC的中点Q,则OQ∥BC.易得△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴∠AQO=90°,即OQ⊥AC.又∵PA=PC,∴PQ⊥AC,∴∠PQO即是二面角P-AC-B的平面角.∵PA=,AQ=AC=3,∴PQ=
8.又∵OQ=BC=4,∴cos∠PQO==,∴∠PQO=60°.答案 60°
12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值.解 取A1C1的中点O,连接B1O,BO.由题意知B1O⊥A1C1,又BA1=BC1,O为A1C1的中点,所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角.因为BB1⊥平面A1B1C1D1,OB1平面A1B1C1D1,所以BB1⊥OB
1.设正方体的棱长为a,则OB1=a,在Rt△BB1O中,tan∠BOB1===,所以二面角B-A1C1-B1的正切值为.
13.选做题如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.1求证BD∥平面FGH;2若CF⊥BC,AB⊥BC,求证平面BCD⊥平面EGH.证明 1方法一 如图所示,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,∴AC=2DF.∵G为AC的中点,∴DF∥GC,且DF=GC,∴四边形CFDG是平行四边形,∴DM=MC.∵BH=HC,∴MH∥BD.又BD⃘平面FGH,MH平面FGH,∴BD∥平面FGH.方法二 在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,H为BC的中点,∴BH∥EF,且BH=EF,∴四边形BHFE是平行四边形,∴BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,∴GH∥AB.又GH∩HF=H,AB∩BE=B,∴平面FGH∥平面ABED.∵BD平面ABED,∴BD∥平面FGH.2∵G,H分别为AC,BC的中点,∴GH∥AB.∵AB⊥BC,∴GH⊥BC.又H为BC的中点,∴EF∥HC,EF=HC,∴EFCH是平行四边形,∴CF∥HE.∵CF⊥BC,∴HE⊥BC.又HE,GH平面EGH,HE∩GH=H,∴BC⊥平面EGH.又BC平面BCD,∴平面BCD⊥平面EGH.。