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阶段质量评估一 不等关系与基本不等式A卷 时间60分钟 满分80分
一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“a<或b>”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当0<ab<1时,若b>0,则a<;若b<0,则b>.反之,a<⇒a-<0⇒bab-1<
0.当b>0时,ab<1;当b<0时,ab>
1.同理,当b>时,若a>0,则ab>1;若a<0,则ab<
1.所以“0<ab<1”是“a<或b>”的充分不必要条件.答案A2.不等式|5x-x2|<6的解集为 A.{x|x<2或x>3}B.{x|-1<x<6}C.{x|-1<x<2或3<x<6}D.{x|2<x<3}解析∵|5x-x2|<6⇒-6<5x-x2<6⇔∴-1<x<2或3<x<
6.答案C3.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 A.1 B.2C.3D.4解析|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥|x-1-x|+|y-1-y+1|=1+2=
3.答案C4.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为-12,则实数a= A.8B.2C.-4D.-8解析|ax+2|<6⇒-8<ax<
4.当a>0时,-<x<.∵解集是-12,∴解得两值矛盾.当a<0时,<x<-.由得a=-
4.答案C5.若0<x<,则x21-2x有 A.最小值B.最大值C.最小值D.最大值解析x21-2x=x·x1-2x≤3=,当且仅当x=时取等号.答案B6.若log43a+4b=log2,则a+b的最小值是 A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4解析由题意,得ab>0且3a+4b>
0.所以a>0,b>
0.又log43a+4b=log2,所以3a+4b=ab.所以+=
1.所以a+b=a+b=7++≥7+2=7+4,当且仅当=,即a=4+2,b=3+2时等号成立.答案D
二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上7.设a,b∈R,给出下列条件
①a+b>1;
②a+b=2;
③a+b>2;
④a2+b2>2;
⑤ab>
1.其中能推出“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是________.解析对于
①,a,b均可小于1;对于
②,a,b均可等于1;对于
④⑤,a,b均可为负数;对于
③,若a,b都不大于1,则a+b≤2,与
③矛盾.故若
③成立,则“a,b中至少有一个实数大于1”成立.答案
③8.函数y=4sin2x·cosx的最大值与最小值的差是________.解析∵y2=16sin2xsin2xcos2x=8sin2xsin2x·2cos2x≤83=8×=,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=±时取等号,∴y2≤.∴ymax=,ymin=-.∴ymax-ymin=.答案9.设常数a>0,若关于x的不等式9x+≥a+1对一切正实数x成立,则实数a的取值范围为________.解析由题意,可知当x>0时,fx=9x+≥2=6a≥a+1,即a≥,当且仅当9x=,即x=时等号成立.答案
三、解答题本大题共3小题,共35分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10.本小题满分10分已知ab≠
0.求证lg≥.证明因为ab≠0,所以|a|>0,|b|>
0.由平均值不等式,得≥>
0.因为函数y=lgx在区间0,+∞上为增函数,所以lg≥lg=,当且仅当|a|=|b|时等号成立.故lg≥.11.本小题满分12分已知a>0,b>0,c>0,a+b>c.求证+>.证明假设+≤,则1-+1-≤1-,即1+≤+.∵1+a1+b1+c+1+a1+b≤1+b1+c+1+a1+c,即c+21+a1+b≤1+ca+b+2,∴2ab+abc+a+b≤c.
①∵a+b>c,a0,b0,c>0,∴a+b+2ab+abc>c,与
①矛盾.∴假设不成立.∴+>成立.12.本小题满分13分已知函数fx=|ax+1|a∈R,关于x的不等式fx≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.1求实数a的值;2若关于x的不等式≤k恒成立,求实数k的取值范围.解1由|ax+1|≤3,得-4≤ax≤
2.又关于x的不等式fx≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意.当a>0时,-≤x≤,则a=
2.2法一 记hx=fx-2f,则hx=所以|hx|≤
1.所以k≥
1.故实数k的取值范围是[1,+∞.法二 =||2x+1|-2|x+1||=2≤
1.由关于x的不等式≤k恒成立,可知k≥
1.所以实数k的取值范围是[1,+∞.B卷 时间60分钟 满分80分
一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设a=lg2+lg5,b=exx<0,则a与b的大小关系是 A.a>b B.a<bC.a=bD.a≤b解析∵a=lg2+lg5=1,b=ex<1x<0,∴a>b.答案A2.设a,b是互不相等的正数,则下列不等式不恒成立的是 A.a+32<2a2+6a+11B.a2+≥a+C.|a-b|+≥2D.-<-解析a+32-2a2+6a+11=-a2-2<0,故A恒成立.在B项中,不等式的两侧同时乘a2,得a4+1≥a3+a⇐a4-a3+1-a≥0⇐a3a-1-a-1≥0⇐a-12a2+a+1≥
0.所以B项中的不等式恒成立.对C项中的不等式,当a>b时,恒成立;当a<b时,不恒成立.由不等式<恒成立,知D项中的不等式恒成立.答案C3.已知x>0,y>0,则下列关系式成立的是 A.x2+y2>x3+y3B.x2+y2=x3+y3C.x2+y2<x3+y3D.x2+y2≤x3+y3解析假设x2+y2>x3+y3成立,下面给出证明.要证明x2+y2>x3+y3,只需证x2+y23>x3+y32,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,即证3x4y2+3x2y4>2x3y
3.∵x>0,y>0,∴x2y2>
0.即证3x2+3y2>2xy.∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy,∴3x2+3y2>2xy成立.∴x2+y2>x3+y
3.答案A4.下列函数中,当x取正数时,最小值为2的是 A.y=x+B.y=lgx+C.y=+D.y=sinx+0<x<π解析y=x+≥2=4,A项错;当0<x≤1时,lgx≤0,B项错;当=时,x=0,不符合题意,y=+≥2的等号取不到,C项错;y=sinx+≥2,当且仅当sinx=1,即x=时取等号,D项正确.答案D5.若△ABC的三边长a,b,c的倒数依次成等差数列,则 A.∠B=B.∠B<C.∠B>D.∠B>解析假设∠B≥,则b最大.有b>a,b>c.∴>,>.∴+>,与题意中的+=矛盾.∴∠B<.答案B6.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,a+=4,则+的最大值为 A.4B.3C.2D.1解析依题意,得4=a+≥
2.则a≤4,即a2b≤16,当且仅当b=a2=4时等号可以取到.因为x=loga2,y=logb2,所以+=2log2a+log2b=log2a2b≤log216=4,即+的最大值为
4.答案A
二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上7.使关于x的不等式|x+1|+k<x有解的实数k的取值范围是________.解析|x+1|+k<x,即|x+1|<x-k,若x≥-1时有解,即有解,则1<-k成立.故k<-
1.若x<-1时有解,即有解,则<-1,即k<-
1.综上,k<-
1.答案-∞,-18.设函数fx=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式fx≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.解析当<1,即a<2时,fx=则有fxmin=f=-a+1≥a2+1恒成立.解得-2≤a≤
0.当>1,即a>2时,fx=则有fxmin=f=a-1≥a2+1恒成立,该不等式无实数解.当a=2时,fx=3|x-1|,则有fxmin=f1=0≥a2+1恒成立,该不等式无实数解.综上,实数a的取值范围是[-20].答案[-20]9.已知a>0,b>0,给出下列四个不等式
①a+b+≥2;
②a+b≥4;
③≥a+b;
④a+≥-
2.其中正确的不等式有________.只填序号解析由a>0,b>0,得
①a+b+≥2+≥2=
2.
②a+b≥4·=
4.
③∵≥,∴a2+b2≥=a+b·≥a+b.∴≥a+b.
④a+=a+4+-4≥2-4=2-4=-2,当且仅当a+4=,即a+42=1时等号成立,∵a>0,∴a+42≠
1.∴等号不能取得.答案
①②③
三、解答题本大题共3小题,共35分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10.本小题满分10分若n∈N+,求证++…+<.证明∵<=,∴++…+<++…+==<.故原不等式得证.11.本小题满分12分设x>-1,求函数y=的最小值.解∵x>-1,∴x+1>
0.∴y===x+1+5+≥2+5=9,当且仅当x+1=,即x=1时等号成立.∴函数y的最小值是
9.12.本小题满分13分已知函数fx=|x+3|-m,m∈R,且关于x的不等式fx-2≤0的解集为[-31].1求实数m的值;2若a,b,c都是正数,且a+b+c=m,求证++≥.1解fx-2=|x-2+3|-m≤0,即|x+1|≤m,所以m≥0,且-m≤x+1≤m.所以-1-m≤x≤-1+m.又原不等式的解集为[-31],故m=
2.2证明由1,得m=
2.则a+b+c=
2.所以++=a+b+c=[a+b+b+c+c+a]=≥×3+2+2+2=,当且仅当a=b=c=时等号成立.。