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活页作业三 绝对值不等式的解法
一、选择题1．如果＜2和|x|＞同时成立，那么实数x的取值范围是 A．B．C．D．解析解不等式＜2，得x＜0或x＞.解不等式|x|＞，得x＞或x＜－.∴实数x的取值范围为.答案B2．不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为 A．B．C．D．解析由2＜|2x＋3|≤4，可得2＜2x＋3≤4或－4≤2x＋3＜－
2.解得－＜x≤或－≤x＜－.答案C3．关于x的不等式＞a的解集为集合M，且2∉M，则实数a的取值范围为 A． B．C．D．解析因为2∉M，所以2∈∁RM.所以≤a，即－a≤≤a.解得a≥.答案B4．不等式|3－x|＋|x＋4|＞8的解集是 A．B．C．D．R解析|3－x|＋|x＋4|＞8⇔或或⇔或或∴x＜－或x＞.∴原不等式的解集为.答案C
二、填空题5．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________.解析由原不等式的解集，可知－，为原不等式对应的方程|ax－2|＝3的根，即解得a＝－
3.答案－36．已知函数fx＝|2x－1|＋x＋3，若fx≤5，则实数x的取值范围是________.解析由已知，有|2x－1|＋x＋3≤5，即|2x－1|≤2－x.所以x－2≤2x－1≤2－x，即即所以－1≤x≤
1.答案[－11]
三、解答题7．已知一次函数fx＝ax－
2.1当a＝3时，解不等式|fx|＜4；2解关于x的不等式|fx|＜4；3若关于x的不等式|fx|≤3对任意x∈
[01]恒成立，求实数a的取值范围．解1当a＝3时，fx＝3x－2，所以|fx|＜4⇔|3x－2|＜4⇔－4＜3x－2＜4⇔－2＜3x＜6⇔－＜x＜
2.所以原不等式的解集为.2|fx|＜4⇔|ax－2|＜4⇔－4＜ax－2＜4⇔－2＜ax＜
6.当a＞0时，原不等式的解集为；当a＜0时，原不等式的解集为.3|fx|≤3⇔|ax－2|≤3⇔－3≤ax－2≤3⇔－1≤ax≤5⇔因为x∈
[01]，所以－1≤a≤
5.所以实数a的取值范围为[－15]．8．已知对区间内的一切实数a，满足关于x的不等式|x－a|＜b的x也满足不等式|x－a2|＜，试求实数b的取值范围．解设A＝{x||x－a|＜b}，B＝，则A＝{x|a－b＜x＜a＋b，b＞0}，B＝.由题意，知当0＜a≤时，A⊆B．所以所以b≤－a2＋a＋且b≤a2－a＋.因为0＜a≤，所以－a2＋a＋＝－a－2＋∈，a2－a＋＝2＋∈.所以b≤且b≤.从而b≤.故实数b的取值范围为.
一、选择题1．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}，若A⊆B，则实数a，b必满足 A．|a＋b|≤3B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3D．|a－b|≥3解析由|x－a|＜1，得a－1＜x＜a＋
1.由|x－b|＞2，得x＜b－2或x＞b＋
2.∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－
2.∴a－b≥3或a－b≤－
3.∴|a－b|≥
3.答案D2．若关于x的不等式|2x＋1|－|x－4|≥m恒成立，则实数m的取值范围为 A．－∞，－1]B．C．D．－∞，－5]解析设Fx＝|2x＋1|－|x－4|＝如图所示，Fxmin＝－－3＝－.故m≤Fxmin＝－.答案C
二、填空题3．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则实数a的取值范围是________.解析∵关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，∴Δ＝12－4≥0，即＋|a|≤.根据绝对值的几何意义，知0≤a≤.答案4．若函数fx是R上的减函数，且函数fx的图像经过点A03和B3，－1，则不等式|fx＋1－1|＜2的解集是________.解析∵|fx＋1－1|＜2，∴－2＜fx＋1－1＜2，即－1＜fx＋1＜
3.∴f3＜fx＋1＜f0．∵函数fx在R上是减函数，∴0＜x＋1＜
3.解得－1＜x＜
2.答案{x|－1＜x＜2}
三、解答题5．如图所示，点O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示点C与原点的距离，y表示点C到点A的距离的4倍与点C到点B的距离的6倍之和．1将y表示为x的函数；2要使y的值不超过70，实数x应该在什么范围内取值？解1依题意，得y＝4|x－10|＋6|x－20|0≤x≤
30.2由题意，得x满足*当0≤x≤10时，不等式组*化为410－x＋620－x≤70，解得9≤x≤
10.当10＜x＜20时，不等式组*化为4x－10＋620－x≤70，解得10＜x＜
20.当20≤x≤30时，不等式组*化为4x－10＋6x－20≤70，解得20≤x≤
23.综上，实数x的取值范围是
[923]．6．已知函数fx＝|x－a|.1若关于x的不等式fx≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；2在1的条件下，若关于x的不等式fx＋fx＋5≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．解法一 1由fx≤3，得|x－a|≤
3.解得a－3≤x≤a＋
3.又关于x的不等式fx≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝
2.2由1，得a＝2，fx＝|x－2|.设gx＝fx＋fx＋5，于是gx＝|x－2|＋|x＋3|＝所以当x＜－3时，gx＞5；当－3≤x≤2时，gx＝5；当x＞2时，gx＞
5.综上，函数gx的最小值为
5.从而若关于x的不等式fx＋fx＋5≥m，即gx≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为－∞，5]．法二 1同法一．2由1，得a＝2，fx＝|x－2|.设gx＝fx＋fx＋5．由|x－2|＋|x＋3|≥|x－2－x＋3|＝5当且仅当－3≤x≤2时等号成立，得函数gx的最小值为
5.从而若关于x的不等式fx＋fx＋5≥m，即gx≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为－∞，5]．。
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