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2018年高中数学第三章不等式
3.4基本不等式学案新人教A版必修51基本不等式的形式是什么?需具备哪些条件? 2在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面? 3一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题? 1.重要不等式当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.基本不等式1有关概念当a,b均为正数时,把叫做正数a,b的算术平均数,把叫做正数a,b的几何平均数.2不等式当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即≤,当且仅当a=b时,等号成立.3变形ab≤2≤,a+b≥2其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立.[点睛] 基本不等式成立的条件a>0且b>0;其中等号成立的条件当且仅当a=b时取等号,即若a≠b时,则≠,即只能有<.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立 2若a≠0,则a+≥2=4 3若a0,b0,则ab≤2 解析1错误.任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立,当a,b都为正数时,不等式a+b≥2成立.2错误.只有当a0时,根据基本不等式,才有不等式a+≥2=4成立.3正确.因为≤,所以ab≤
2.答案1× 2× 3√2.若a>b>0,则下列不等式成立的是 A.a>b>>B.a>>>bC.a>>b>D.a>>>b解析选B a=>>>=b,因此B项正确.3.若x0,则x++2有 A.最小值6 B.最小值8C.最大值8D.最大值3解析选B 由x++2≥2+2=8当且仅当x=,即x=3时,取等号,故选B.4.利用基本不等式求最值,下列运用正确的是 A.y=|x|2+≥2=4≥0B.y=sinx+≥2=4x为锐角C.已知ab≠0,+≥2=2D.y=3x+≥2=4解析选D 在A中,4不是常数,故A选项错误;在B中,sinx=时无解,y取不到最小值4,故B选项错误;在C中,,未必为正,故C选项错误;在D中,3x,均为正,且3x=时,y取最小值4,故D选项正确.利用基本不等式比较大小[典例] 1已知m=a+a2,n=22-b2b≠0,则m,n之间的大小关系是 A.mn B.mnC.m=nD.不确定2若ab1,P=,Q=lga+lgb,R=lg,则P,Q,R的大小关系是________.[解析] 1因为a2,所以a-20,又因为m=a+=a-2++2,所以m≥2+2=4,由b≠0,得b2≠0,所以2-b22,n=22-b24,综上可知mn.2因为ab1,所以lgalgb0,所以Q=lga+lgb=P;Q=lga+lgb=lg+lg=lglg=R.所以PQR.[答案] 1A 2PQR利用基本不等式比较实数大小的注意事项1利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式和与积,同时要注意结合函数的性质单调性.2利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a0,b
0. [活学活用] 已知a,b,c都是非负实数,试比较++与a+b+c的大小.解因为a2+b2≥2ab,所以2a2+b2≥a+b2,所以≥a+b,同理≥b+c≥c+a,所以++≥[a+b+b+c+c+a],即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.利用基本不等式证明不等式[典例] 已知a,b,c均为正实数,求证++≥
3.[证明] ∵a,b,c均为正实数,∴+≥2当且仅当a=2b时等号成立,+≥2当且仅当a=3c时等号成立,+≥2当且仅当2b=3c时等号成立,将上述三式相加得++≥6当且仅当a=2b=3c时等号成立,∴++≥3当且仅当a=2b=3c时等号成立,即++≥3当且仅当a=2b=3c时等号成立.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1策略从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.2注意事项
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用. [活学活用] 已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证≥
8.证明因为a,b,c为正实数,且a+b+c=1,所以-1==≥.同理,-1≥,-1≥.上述三个不等式两边均为正,相乘得≥··=8,当且仅当a=b=c=时,取等号.利用基本不等式求最值[典例] 1已知lga+lgb=2,求a+b的最小值.2已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值.3已知x>0,y>0,+=1,求x+y的最小值.[解] 1由lga+lgb=2可得lgab=2,即ab=100,且a>0,b>0,因此由基本不等式可得a+b≥2=2=20,当且仅当a=b=10时,a+b取到最小值
20.2∵x>0,y>02x+3y=6,∴xy=2x·3y≤·2=·2=,当且仅当2x=3y,即x=,y=1时,xy取到最大值.3∵+=1,∴x+y=x+y·=1+++9=++10,又∵x>0,y>0,∴++10≥2+10=16,当且仅当=,即y=3x时,等号成立.由得即当x=4,y=12时,x+y取得最小值
16.1应用基本不等式需注意三个条件即一正、二定、三相等.在具体的题目中,“正数”条件往往易从题设中获得解决,“相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性,这是解题成败的关键.2常用构造定值条件的技巧变换
①加项变换;
②拆项变换;
③统一变元;
④平方后利用基本不等式.3对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用. [活学活用]1.已知a0,b0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为 A.8B.7C.6D.5解析选C 由已知,可得6=1,∴2a+b=6·2a+b=6≥6×5+4=54,当且仅当=时等号成立,∴9m≤54,即m≤6,故选C.2.设ab0,则a2++的最小值是 A.1B.2C.3D.4解析选D 因为ab0,所以a-b0,所以a2++=aa-b++ab+≥2+2=4,当且仅当aa-b=且ab=,即a=,b=时等号成立.利用基本不等式解应用题[典例] 某单位决定投资3200元建一仓库长方体状,高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求1仓库面积S的最大允许值是多少?2为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?[解] 1设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,而顶部面积为S=xy,依题意得,40x+2×45y+20xy=3200,由基本不等式得3200≥2+20xy=120+20xy,=120+20S.所以S+6-160≤0,即-10+16≤0,故≤10,从而S≤100,所以S的最大允许值是100平方米,2取得最大值的条件是40x=90y且xy=100,求得x=15,即铁栅的长是15米.求实际问题中最值的解题4步骤1先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.2把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.3在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑基本不等式,当基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性.4正确写出答案. [活学活用] 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y单位万元与机器运转时间x单位年的关系为y=-x2+18x-25x∈N*,求当每台机器运转多少年时,年平均利润最大,最大值是多少.解每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.故当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值为8万元.层级一 学业水平达标1.下列结论正确的是 A.当x0且x≠1时,lgx+≥2B.当x0时,+≥2C.当x≥2时,x+的最小值为2D.当0x≤2时,x-无最大值解析选B A中,当0x1时,lgx0,lgx+≥2不成立;由基本不等式知B正确;C中,由对勾函数的单调性,知x+的最小值为;D中,由函数fx=x-在区间02]上单调递增,知x-的最大值为,故选B.2.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是 A.lgx2+1≥lg2x B.x2+12xC.≤1D.x+≥2解析选C 对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于D,当x0时,不成立.对于C,x2+1≥1,∴≤1成立.故选C.3.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式中正确的一个是 A.+1B.+≥1C.+2D.+≥2解析选B 因为ab≤2≤2=4,所以+≥2≥2=
1.4.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则 A.B.C.=D.≤解析选A 因为a,b,c,d成等差数列,则a+d=b+c,又因为a,b,c,d均大于0且不相等,所以b+c2,故.5.若x0,y0,且+=1,则xy有 A.最大值64B.最小值C.最小值D.最小值64解析选D 由题意xy=xy=2y+8x≥2=8,∴≥8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x=4,y=
16.6.若a0,b0,且+=,则a3+b3的最小值为________.解析∵a0,b0,∴=+≥2,即ab≥2,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,则a3+b3的最小值为
4.答案47.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是________.解析由题意得,y=,∴2x+y=2x+==≥3,当且仅当x=y=1时,等号成立.答案38.若对任意x0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.解析因为x0,所以x+≥
2.当且仅当x=1时取等号,所以有=≤=,即的最大值为,故a≥.答案9.1已知x3,求fx=+x的最大值;2已知x,y是正实数,且x+y=4,求+的最小值.解1∵x3,∴x-30,∴fx=+x=+x-3+3=-+3≤-2+3=-1,当且仅当=3-x,即x=1时取等号,∴fx的最大值为-
1.2∵x,y是正实数,∴x+y=4+≥4+
2.当且仅当=,即x=2-1,y=23-时取“=”号.又x+y=4,∴+≥1+,故+的最小值为1+.10.设a,b,c都是正数,试证明不等式++≥
6.证明因为a0,b0,c0,所以+≥2,+≥2,+≥2,所以++≥6,当且仅当=,=,=,即a=b=c时,等号成立.所以++≥
6.层级二 应试能力达标1.a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是 A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|C.a2+b2≤2|ab|D.a2+b22|ab|解析选A ∵a2+b2-2|ab|=|a|-|b|2≥0,∴a2+b2≥2|ab|当且仅当|a|=|b|时,等号成立.2.已知实数a,b,c满足条件abc且a+b+c=0,abc0,则++的值 A.一定是正数B.一定是负数C.可能是0D.正负不确定解析选B 因为abc且a+b+c=0,abc0,所以a0,b0,c0,且a=-b+c,所以++=-++,因为b0,c0,所以b+c≤-2,所以-≤,又+≤-2,所以-++≤-2=-0,故选B.3.已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值为 A.0B.1C.2D.4解析选D 由题意,知所以===+2≥2+2=4,当且仅当x=y时,等号成立.4.若实数x,y满足xy0,则+的最大值为 A.2-B.2+C.4+2D.4-2解析选D +=+,设t=0,∴原式=+=+=1+=1+.∵2t+≥2,∴最大值为1+=4-
2.5.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+m2-3m有解,则实数m的取值范围是________.解析因为不等式x+m2-3m有解,所以minm2-3m,因为x0,y0,且+=1,所以x+==++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时,等号是成立的,所以min=4,所以m2-3m4,即m+1m-40,解得m-1或m
4.答案-∞,-1∪4,+∞6.若正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.解析由a+b=1,知+==,又ab≤2=当且仅当a=b=时等号成立,∴9ab+10≤,∴≥.答案7.某厂家拟在xx举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量即该产品的年产量x单位万件与年促销费用mm≥0单位万元满足x=3-k为常数,如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知xx生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的
1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用.1将xx该产品的利润y单位万元表示为年促销费用m的函数;2该厂家xx的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?解1由题意,可知当m=0时,x=1,∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-,又每件产品的销售价格为
1.5×元,∴y=x-8+16x+m=4+8x-m=4+8-m=-+29m≥0.2∵m≥0,+m+1≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时等号成立,∴y≤-8+29=21,∴ymax=
21.故该厂家xx的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.8.已知k,若对任意正数x,y,不等式x+ky≥恒成立,求实数k的最小值.解∵x0,y0,∴不等式x+ky≥恒成立等价于+k≥恒成立.又k,∴+k≥2,∴2≥,解得k≤-舍去或k≥,∴kmin=.。