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第一章导数及其应用章末检测卷
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.下列各式正确的是 A.sina′=cosaa为常数B.cosx′=sinxC.sinx′=cosxD.x-5′=-x-6解析由导数公式知选项A中sina′=0;选项B中cosx′=-sinx;选项D中x-5′=-5x-
6.答案C2.若曲线y=x2+ax+b在点0,b处的切线方程是x-y+1=0,则 A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析y′=2x+a,∴y′|x=0=a=
1.将点0,b代入切线方程,得b=
1.答案A3.已知某物体运动的路程与时间的关系为s=t3+lnt,则该物体在t=4时的速度为 A.B.C.D.解析由s=t3+lnt,得s′=t2+,所以s′|t=4=42+=.答案C4.设fx=xlnx,若f′x0=2,则x0= A.e2B.eC.D.ln2解析f′x=xlnx′=lnx+1,f′x0=lnx0+1=2⇒x0=e.答案B5.函数fx的图象如图所示,下列数值的排序正确的是 A.0f′2f′3f3-f2B.0f′3f3-f2f′2C.0f′3f′2f3-f2D.0f3-f2f′2f′3解析由f′2,f′3的几何意义知f′2f′30,设A2,f2,B3,f3,则kAB=,由图象知0f′3kABf′2.答案B6.设x=-2与x=4是函数fx=x3+ax2+bx的两个极值点,则常数a-b的值为 A.21B.-21C.27D.-27解析因为f′x=3x2+2ax+b,所以⇒所以a-b=-3+24=
21.故选A.答案A7.函数fx=x2-ln2x的单调递减区间是 A.B.C.,D.,解析因为f′x=2x-=,所以f′x≤0⇔解得0x≤.答案A8.某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,如果生产出一件次品,则损失100元,已知该厂在制造电子元件过程中,次品率p与日产量x的函数关系是p=x∈N*,为获得最大盈利,该厂的日产量应定为 A.14件B.16件C.24件D.32件解析因为最大盈利T=200x1-p-100xp=25·x∈N*,所以T′=25·=25·x∈N*.令T′=0,所以x=16或x=-32舍去.因为当x16时,T′0;当x16时,T′0,所以当x=16时,T取得最大值,故日产量应定为16件.答案B9.由函数y=-x的图象,直线x=1,x=0,y=0所围成的图形的面积可表示为 A.-xdxB.|-x|dxC.-1xdxD.-xdx解析由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S=|-x|dx.答案B10.一物体在力Fx=4x-1单位N的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1处运动到x=3处单位m,则力F所作的功为 A.10JB.14JC.7JD.28J解析W=Fxdx=4x-1dx=2x2-x=2·32-3-2·12-1=14J.答案B11.若两曲线y=x2与y=cx3c0围成图形的面积是,则c等于 A.B.C.1D.解析由得x=0或x=c0,∴∫0x2-cx3dx=.解得c=.答案B12.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈0,+∞恒成立,则实数a的取值范围是 A.-∞,0B.-∞,4]C.0,+∞D.[4,+∞解析2xlnx≥-x2+ax-3x0恒成立,即a≤2lnx+x+x0恒成立,设hx=2lnx+x+x0,则h′x=.当x∈01时,h′x0,函数hx单调递减;当x∈1,+∞时,h′x0,函数hx单调递增,所以hxmin=h1=
4.所以a≤hxmin=
4.故a的取值范围是-∞,4].答案B
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上13.某物体做匀速运动,其运动方程是s=vt+b,则该物体在运动过程中,其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________.解析v0=li=li=li=li=v.答案相等14.函数fx=x∈[-22]的最大值是________.最小值是________.解析∵f′x==,令f′x=0,得x=1或x=-
1.又∵f1=2,f-1=-2,f2=,f-2=-,∴fx在[-22]上的最大值为2,最小值为-
2.答案2 -215.若dx=3+ln2,则a的值是________.解析dx=x2+lnx=a2+lna-1+ln1=a2-1+lna=3+ln
2.∴∴a=
2.答案216.若函数fx=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是________.解析由题意知x0,f′x=1+,要使函数fx=x+alnx不是单调函数,则需方程1+=0在x0上有解,即x=-a,所以a
0.答案-∞,0
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.10分已知函数fx=x3+x-
16.1求曲线y=fx在点2,-6处的切线方程;2直线l为曲线y=fx的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.解析1∵f′x=x3+x-16′=3x2+1,∴fx在点2,-6处的切线的斜率为k=f′2=13,∴切线的方程为y=13x-2+-6,即y=13x-
32.2方法一设切点为x0,y0,则直线l的斜率为f′x0=3x+1,∴直线l的方程为y=3x+1x-x0+x+x0-16,又∵直线l过点00,∴0=3x+1-x0+x+x0-16,整理得,x=-8,∴x0=-2,∴y0=-23+-2-16=-26,k=3×-22+1=
13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为-2,-26.方法二由题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx,切点为x0,y0,则k==,又∵k=f′x0=3x+1,∴=3x+1,解之得x0=-2,∴y0=-23+-2-16=-26,k=3×-22+1=
13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为-2,-26.18.12分物体A以速度v=3t2+1在一直线上运动,在此直线上与物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5m处以v=10t的速度与A同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A走过的路程是多少时间单位为s,速度单位为m/s解析设A追上B时,所用的时间为t0,依题意有sA=sB+5,即∫t003t2+1dt=∫t0010tdt+5,∴t+t0=5t+5,即t0t+1=5t+1,t0=5s,∴sA=5t+5=130m.19.12分已知Fx=-1tt-4dt,x∈-1,+∞.1求Fx的单调区间;2求函数Fx在
[15]上的最值.解析Fx=-1t2-4tdt==x3-2x2-=x3-2x2+x-1.1F′x=x2-4x,由F′x0,即x2-4x0,得-1x0或x4;由F′x0,即x2-4x0,得0x4,∴Fx的单调递增区间为-10和4,+∞,单调递减区间为04.2由1知Fx在
[14]上递减,在
[45]上递增.∵F1=-2+=,F4=×43-2×42+=-,F5=×53-2×52+=-6,∴Fx在
[15]上的最大值为,最小值为-.20.12分某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本为14000元,每生产一件产品,成本增加210元.已知该产品的日销售量fx与产量x件之间的关系式为fx=每件产品的售价gx与产量x之间的关系式为gx=1写出该陶瓷厂的日销售利润Qx与产量x之间的关系式.2若要使得日销售利润最大,每天该公司生产多少件产品,并求出最大利润.解析1总成本为cx=14000+210x,所以日销售利润Qx=fxgx-cx=2
①当0≤x≤400时,Q′x=-x2+x-210,令Q′x=0,解得x=100或x=700,于是Qx在区间
[0100]上单调递减,在区间
[100400]上单调递增,所以Qx在x=400时取到最大值,且最大值为30000;
②当x400时,Qx=-210x+
11400030000.综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该公司生产400件产品,其最大利润为30000元.21.12分设函数fx=a2lnx-x2+axa0.1求fx的单调区间;2求所有使e-1≤fx≤e2对x∈[1,e]恒成立的a的值.解析1因为fx=a2lnx-x2+ax,其中x0,所以f′x=-2x+a=-.由于a0,所以fx的单调递增区间为0,a,单调递减区间为a,+∞.2由题意得f1=a-1≥e-1,即a≥e.由1知fx在[1,e]内单调递增,要使e-1≤fx≤e2对x∈1,e恒成立.只要解得a=e.22.12分已知函数fx=ax3+cx+da≠0是R上的奇函数,当x=1时,fx取得极值-
2.1求函数fx的解析式;2求函数fx的单调区间和极大值;3证明对任意x1,x2∈-11,不等式|fx1-fx2|4恒成立.解析1∵fx是R上的奇函数,∴f-x=-fx,即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d.∴d=-d.∴d=0或由f0=0得d=0.∴fx=ax3+cx,f′x=3ax2+c.又当x=1时,fx取得极值-2,∴即解得∴fx=x3-3x.2f′x=3x2-3=3x+1x-1.令f′x=0,得x=±
1.当-1x1时,f′x0,函数fx单调递减;当x-1或x1时,f′x0,函数fx单调递增.∴函数fx的递增区间是-∞,-1,1,+∞,递减区间为-11.因此,fx在x=-1处取得极大值,且极大值为f-1=
2.3证明由2知,函数fx在区间[-11]上单调递减,且fx在区间[-11]上的最大值为M=f-1=2,最小值为m=f1=-
2.∴对任意x1,x2∈-11,|fx1-fx2|M-m=4成立.即对任意x1,x2∈-11,不等式|fx1-fx2|4恒成立.。