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第1课时 分类计数原理与分步计数原理学习目标
1.理解分类计数原理与分步计数原理.
2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．知识点一 分类计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．思考1 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？ 思考2 这几类方案中各有几种方法？ 思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？ 梳理 1完成一件事有两类不同的方式，在第1类方式中有m种不同的方法，在第2类方式中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．2完成一件事有n类不同的方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝__________________种不同的方法．知识点二 分步计数原理若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车．思考1 该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？ 思考2 完成每一个步骤各有几种方法？ 思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？ 梳理 1完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．2完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝______________________________种不同的方法．类型一 分类计数原理例1 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？ 反思与感悟 1应用分类计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．2利用分类计数原理解题的一般思路跟踪训练1 若x，y∈N*，且x＋y≤5，则有序自然数对x，y共有________个．类型二 分步计数原理引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？各位上的数字允许重复 反思与感悟 1应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．2利用分步计数原理解题的一般思路
①分步将完成这件事的过程分成若干步．
②计数求出每一步中的方法数．
③结论将每一步中的方法数相乘得最终结果．跟踪训练2 从－2，－10123这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________．类型三 两个原理的综合应用例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．1从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？2从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？3从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 反思与感悟 分类讨论解决问题，必须思维清晰，保证分类标准的唯一性，这样才能保证分类不重复，不遗漏，运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类，应视具体问题而定．跟踪训练3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有________种．2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________．3．把5本书全部借给3名学生，有________种不同的借法．4．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有________种．用数字作答5．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．1推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？2每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？3从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 1．使用两个原理解题的本质―→―→―→―→2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法答案精析问题导学知识点一思考1 两类，即乘飞机、坐火车．思考2 第1类方案乘飞机有7种方法，第2类方案坐火车有6种方法．思考3 共有7＋6＝13种不同的方法．梳理 1m＋n 2m1＋m2＋…＋mn知识点二思考1 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津．思考2 第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．思考3 共有7×6＝42种不同的方法．梳理 1m×n 2m1×m2×…×mn题型探究例1 解 从中选1人去献血的方法共有4类．第一类从O型血的人中选1人去献血，共有29种不同的方法；第二类从A型血的人中选1人去献血，共有7种不同的方法；第三类从B型血的人中选1人去献血，共有9种不同的方法；第四类从AB型血的人中选1人去献血，共有3种不同的方法．利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48种不同的选法．跟踪训练1 10解析 当x＝1时，y＝1234，共构成4个有序自然数对；当x＝2时，y＝123，共构成3个有序自然数对；当x＝3时，y＝12，共构成2个有序自然数对；当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10个有序自然数对．例2 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝
10.根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10000个四位数的号码．引申探究解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝
7.根据分步计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5040个四位数的号码．跟踪训练2 100解析 由题意知，a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法．由分步计数原理，得抛物线的条数为5×5×4＝
100.例3 解 1分为三类从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．2分为三步国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．3分为三类第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．跟踪训练3 解 由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．方法一 分两类．第一类从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3种选法，此时共有6×3＝18种选法；第二类从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2种选法．所以由分类计数原理知，共有18＋2＝20种选法．方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种1教英语；2教日语．第一类甲入选．1甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步计数原理，有1×2＝2种选法；2甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步计数原理，有1×6＝6种选法，故甲入选的不同选法共有2＋6＝8种．第二类甲不入选，可分两步．第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法．由分步计数原理，有6×2＝12种不同的选法．综上，共有8＋12＝20种不同的选法．当堂训练1．7
2.12
3.243
4.95．解 1分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24种不同的选法．2分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法．第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480种不同的选法．3分三类每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188种不同的选法．。
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