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第1课时 排列与排列数公式学习目标
1.理解并掌握排列的概念.
2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一 排列的概念从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．思考1 让你安排这项活动需要分几步？ 思考2 甲丙和丙甲是相同的排法吗？ 梳理 一般地，从n个不同元素中取出mm≤n个元素，按照______________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二 排列数思考1 从1234这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？ 思考2 从1234这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？ 思考3 从n个不同的元素中取出m个m≤n元素排成一列，共有多少种不同排法？ 梳理 排列数及排列数公式排列数全排列定义从n个不同元素中取出mm≤n个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数n个不同元素______的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列表示法AA公式乘积形式A＝nn－1·n－2…n－m＋1A＝nn－1n－2·…·3·2·1阶乘形式A＝__________性质A＝1；0！＝1类型一 排列的概念例1 下列问题是排列问题的为________．
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④从12345中任取两个数字相除；
⑤10个车站，站与站间的车票．反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1 下列哪些问题是排列问题．1从10名学生中抽2名学生开会；2从235711中任取两个数相乘；3以圆上的10个点为端点作弦；420个车站，站与站间的车票价格；5平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 类型二 排列数及其应用例2 1计算＝________.2计算＝________.反思与感悟 1排列数公式的逆用连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数因式的个数是选取元素的个数．2利用排列数公式进行计算时可利用连乘形式也可利用阶乘形式．当A中m已知且较小时用连乘形式，当m较大或为参数时用阶乘形式．3应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系，解题时要灵活地运用如下变式
①n！＝nn－1！.
②A＝nA.
③n·n！＝n＋1！－n！.
④＝－.跟踪训练2 1用排列数表示55－n56－n…69－nn∈N*，且n55＝________；2计算2A＋A＝________.引申探究把本例的方程改为不等式“A140A”，求它的解集．例3 解方程A＝140A. 反思与感悟 利用排列数公式展开即得到关于x的方程或不等式，但由于x存在于排列数中，故应考虑排列数对x的制约，避免出现增根．跟踪训练3 不等式A6A的解集为________．类型三 排列的列举问题例4 写出下列问题的所有排列1A、B、C三名同学照相留念，成“一”字形排队，共有多少种不同的排列方法？2北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ 反思与感悟 用树状图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树状图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏．跟踪训练4 从0123这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．1能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；2若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数． 1．若将x－3x－4x－5…x－12x－13，x∈N*，x13表示为A的形式，则可表示为________．2．下列问题中属于排列问题的为________．填序号
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5678中任取两个不同的数作幂运算．3．从2357四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有________个．4．已知A＝30，则x＝________.5．写出下列问题的所有排列1从编号为12345的五名同学中选出两名同学任正、副班长；2A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四． 1．判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．2．关于排列数的两个公式1排列数的第一个公式A＝nn－1n－2…n－m＋1适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．2排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N*，m≤n”的运用．答案精析问题导学知识点一思考1 分两步．第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学．思考2 不是．梳理 一定的顺序知识点二思考1 4×3＝12个．思考2 4×3×2＝24个．思考3 nn－1n－2…n－m＋1种．梳理 所有排列的个数 全部取出 A＝n!题型探究例1
①③④⑤解析
①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；
②不存在顺序问题，不是排列问题；
③存在顺序问题，是排列问题；
④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；
⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．跟踪训练1 解 12名学生开会没有顺序，不是排列问题．2两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．3弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．4车票价格与起点和终点无关，故车票价格是无顺序的，不是排列问题．5确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．例2 11解析 ＝＝＝
1.21解析 原式＝·n－m！·＝·n－m！·＝
1.跟踪训练2 1A 272解析 1∵55－n56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－55－n＋1＝15个元素，∴55－n56－n…69－n＝A69－n.22A＋A＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝
72.例3 解 根据题意，原方程等价于即整理得4x2－35x＋69＝0x≥3，x∈N*，解得x＝3x＝∉N*，舍去．引申探究解 由A140A知，x≥3且x∈N*，由排列数公式，原不等式可化为2x＋1·2x·2x－12x－2140x·x－1x－2，解得3x，因为x∈N*，所以x＝4或x＝
5.所以不等式的解集为{45}．跟踪训练3 {8}解析 由A6A，得6×，化简得x2－19x＋840，解得7x12，
①又所以2≤x≤8，
②由
①②及x∈N*，得x＝
8.例4 解 1按三个位置依次安排，如图故所有排列为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.2列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．跟踪训练4 解 1组成三位数分三个步骤．第一步选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树状图．由树状图知，所有的三位数为
102103120123130132201203210213230231301302310312320321.2直接画出树状图．由树状图知，符合条件的三位数有8个
201210230231301302310312.当堂训练1．A
2.
①④
3.12
4.65．解 1从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A＝20种选法，形成的排列是
1213141521232425313234354142434551525354.2因为A不排第一，排第一位的情况有3类可从B、C、D中任选一人排，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种．。
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