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1.4计数应用题学习目标
1.进一步理解和掌握两个计数原理.
2.进一步深化理解排列与组合的概念.
3.能综合运用排列、组合解决计数问题．类型一 两个计数原理的应用例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示具体意义如下从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．用数字作答反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．其中mii＝12345表示相应步的方法数．完成A→D这件事的方法数为m1m2＋m3＋m4m
5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法．跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有________种．类型二 有限制条件的排列问题例3 3个女生和5个男生排成一排．1如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？2如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？3如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？4如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？5如果甲必须排在乙的右面可以不相邻，有多少种不同的排法？ 反思与感悟 1排列问题的限制条件一般表现为某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏去尽．2对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．跟踪训练3 用0到9这10个数字，1可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？2可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？ 类型三 排列与组合的综合应用例4 有4张分别标有数字1234的红色卡片和4张分别标有数字1234的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？ 反思与感悟 1解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．2解排列、组合综合问题时要注意以下几点
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．跟踪训练4 从13579中任取3个数字，从02468中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？ 例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有________种不同的分配方案．反思与感悟 凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组每组的任务不同”的问题，一般可用“隔板法”求解1当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N＝C种，即将n个元素中间的n－1个空格中加入m－1个“隔板”．2任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N＝C种，即将n个相同元素与m－1个相同“隔板”进行排序，在n＋m－1个位置中选m－1个安排“隔板”．跟踪训练5 用234567六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有________种不同的选择方式．2．包括甲、乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧可以不相邻，有________种站法．3．从024中取一个数字，从135中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是___________________________________________________．4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．5．已知xi∈{－101}，i＝123456，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组x1，x2，x3，x4，x5，x6的个数为________．1．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．答案精析题型探究例1 28800解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算1幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17400种结果；2幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400种结果．因此共有17400＋11400＝28800种不同结果．跟踪训练1 48解析 如图所示，将原图从上而下的4个区域标为
1234.因为123之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论14同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝
48.例2 264解析 上午总测试方法有4×3×2×1＝24种．我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步计数原理，总的测试方法共有24×11＝264种．跟踪训练2 21解析 根据题意，设5个开关依次为
1、
2、
3、
4、5，如图所示，若电路接通，则开关
1、2与
3、
4、5中至少有1个接通，对于开关
1、2，共有2×2＝4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3种情况，对于开关
3、
4、5，共有2×2×2＝8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7种情况，则电路接通的情况有3×7＝21种．例3 解 1捆绑法因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A种不同的排法，因此共有A·A＝4320种不同的排法．2插空法要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A种方法，因此共有A·A＝14400种不同的排法．3方法一 特殊位置优先法因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A种排法，所以共有A·A＝14400种不同的排法．方法二 间接法3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14400种不同的排法．方法三 特殊元素优先法从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14400种不同的排法．4方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法．因此共有A·A＋A·A·A＝36000种不同的排法．方法二 3个女生和5个男生排成一排有A种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A·A种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36000种不同的排法．5顺序固定问题因为8人排队，其中两人顺序固定，共有＝20160种不同的排法．跟踪训练3 解 1可以组成9A＝4536个四位数．适合题意的四位奇数共有A·A·A＝2240个．20到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类第1类三位数字全相同，如111222，…，999，共9个；第2类三位数字全不同，共有9×9×8＝648个，第3类由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有900－9－648＝243个．例4 解 分三类第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1234时，不同的排法有C·C·C·C·A种．第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1144时，不同的排法有C·C·A种．第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2233时，不同的排法有C·C·A种．故满足题意的所有不同的排法种数为C·C·C·C·A＋2C·C·A＝
432.跟踪训练4 解 1五位数中不含数字
0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法．第2步，排成偶数——先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法．所以N1＝C·C·A·A.2五位数中含有数字
0.第1步，选出5个数字，共有C·C种选法．第2步，排顺序又可分为两小类
①末位排0，有A·A种排列方法；
②末位不排
0.这时末位数有C种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有A种排法，其余3个数字则有A种排法．所以N2＝C·CA·A＋A·A．所以符合条件的偶数个数为N＝N1＋N2＝CCAA＋CCAA＋AA＝
4560.例5 15解析 先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个．利用“隔板法”可知，共有C＝15种不同的分配方案．跟踪训练5 96解析 用间接法六个数字能构成的三位数共6×6×6＝216个，而无重复数字的三位数共有A＝6×5×4＝120个．故所求的三位数的个数为216－120＝
96.当堂训练1．14
2.2520
3.48
4.36
5.90。
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