还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
1.4计数应用题学习目标
1.进一步理解和掌握两个计数原理.
2.进一步深化理解排列与组合的概念.
3.能综合运用排列、组合解决计数问题.类型一 两个计数原理的应用例1 电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有________种不同的结果.反思与感悟 用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示具体意义如下从A到B算作一件事的完成,完成这件事有两类办法,在第1类办法中有3步,在第2类办法中有2步,每步的方法数如图所示.所以,完成这件事的方法数为m1m2m3+m4m5,“类”与“步”可进一步地理解为“类”用“+”号连接,“步”用“×”号连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”缺一不可.跟踪训练1 现有4种不同颜色,要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种.例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测一人,则不同的安排方式共有________种.用数字作答反思与感悟 用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示从计数的角度看,由A到D算作完成一件事,可简单地记为A→D.完成A→D这件事,需要经历三步,即A→B,B→C,C→D.其中B→C这步又分为三类,这就是步中有类.其中mii=12345表示相应步的方法数.完成A→D这件事的方法数为m1m2+m3+m4m
5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法.跟踪训练2 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有________种.类型二 有限制条件的排列问题例3 3个女生和5个男生排成一排.1如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法?2如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?3如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?4如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?5如果甲必须排在乙的右面可以不相邻,有多少种不同的排法? 反思与感悟 1排列问题的限制条件一般表现为某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时,可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条件的排列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意要不重复,不遗漏去尽.2对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻问题,可用“捆绑法”,即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空法”,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中.跟踪训练3 用0到9这10个数字,1可以组成多少个没有重复数字的四位数?在这些四位数中,奇数有多少个?2可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数? 类型三 排列与组合的综合应用例4 有4张分别标有数字1234的红色卡片和4张分别标有数字1234的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种? 反思与感悟 1解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.2解排列、组合综合问题时要注意以下几点
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.
②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.跟踪训练4 从13579中任取3个数字,从02468中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数? 例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中,若各班名额数不小于班级序号数,则共有________种不同的分配方案.反思与感悟 凡“相同小球放入不同盒中”的问题,即为“n个相同元素有序分成m组每组的任务不同”的问题,一般可用“隔板法”求解1当每组至少含一个元素时,其不同分组方式有N=C种,即将n个元素中间的n-1个空格中加入m-1个“隔板”.2任意分组,可出现某些组含元素为0个的情况,其不同分组方式有N=C种,即将n个相同元素与m-1个相同“隔板”进行排序,在n+m-1个位置中选m-1个安排“隔板”.跟踪训练5 用234567六个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为________.1.李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则李芳有________种不同的选择方式.2.包括甲、乙在内的7个人站成一排,其中甲在乙的左侧可以不相邻,有________种站法.3.从024中取一个数字,从135中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是___________________________________________________.4.某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是公益宣传广告,且2个公益宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有________种.5.已知xi∈{-101},i=123456,则满足x1+x2+x3+x4+x5+x6=2的数组x1,x2,x3,x4,x5,x6的个数为________.1.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个基本计数原理作最后处理.2.对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重不漏.3.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.答案精析题型探究例1 28800解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星,决定了后边选幸运伙伴是不同的,故要分两类分别计算1幸运之星在甲箱中抽,先确定幸运之星,再在两箱中各确定一名幸运伙伴,有30×29×20=17400种结果;2幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.跟踪训练1 48解析 如图所示,将原图从上而下的4个区域标为
1234.因为123之间不能同色,1与4可以同色,因此,要分类讨论14同色与不同色这两种情况.故不同的着色方法种数为4×3×2+4×3×2×1=
48.例2 264解析 上午总测试方法有4×3×2×1=24种.我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目.若上午测试E的同学下午测试D,则上午测试A的同学下午只能测试B、C,确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种;若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一,则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D,安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了,故共有3×3=9种测试方法,即下午的测试方法共有11种,根据分步计数原理,总的测试方法共有24×11=264种.跟踪训练2 21解析 根据题意,设5个开关依次为
1、
2、
3、
4、5,如图所示,若电路接通,则开关
1、2与
3、
4、5中至少有1个接通,对于开关
1、2,共有2×2=4种情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有4-1=3种情况,对于开关
3、
4、5,共有2×2×2=8种情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有8-1=7种情况,则电路接通的情况有3×7=21种.例3 解 1捆绑法因为3个女生必须排在一起,所以可先把她们看成一个整体,这样同5个男生合在一起共有6个元素,排成一排有A种不同排法.对于其中的每一种排法,3个女生之间又有A种不同的排法,因此共有A·A=4320种不同的排法.2插空法要保证女生全分开,可先把5个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空,这样共有4个空,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有6个位置,再把3个女生插入这6个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有A种不同的排法,对于其中任意一种排法,从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A种方法,因此共有A·A=14400种不同的排法.3方法一 特殊位置优先法因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有A种不同排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有A种排法,所以共有A·A=14400种不同的排法.方法二 间接法3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法,从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次,在扣除女生排在末位时又被扣去一次,所以还需加一次,由于两端都是女生有A·A种不同的排法,所以共有A-2A·A+A·A=14400种不同的排法.方法三 特殊元素优先法从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入,有A种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余5个位置又都有A种不同的排法,所以共有A·A=14400种不同的排法.4方法一 因为只要求两端不能都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条件限制了,这样可有A·A种不同的排法;如果首位排女生,有A种排法,这时末位就只能排男生,这样可有A·A·A种不同的排法.因此共有A·A+A·A·A=36000种不同的排法.方法二 3个女生和5个男生排成一排有A种排法,从中扣去两端都是女生的排法有A·A种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有A-A·A=36000种不同的排法.5顺序固定问题因为8人排队,其中两人顺序固定,共有=20160种不同的排法.跟踪训练3 解 1可以组成9A=4536个四位数.适合题意的四位奇数共有A·A·A=2240个.20到9这10个数字构成的三位数共有900个,分为三类第1类三位数字全相同,如111222,…,999,共9个;第2类三位数字全不同,共有9×9×8=648个,第3类由间接法可求出,只含有2个相同数字的三位数,共有900-9-648=243个.例4 解 分三类第一类,当取出的4张卡片分别标有数字1234时,不同的排法有C·C·C·C·A种.第二类,当取出的4张卡片分别标有数字1144时,不同的排法有C·C·A种.第三类,当取出的4张卡片分别标有数字2233时,不同的排法有C·C·A种.故满足题意的所有不同的排法种数为C·C·C·C·A+2C·C·A=
432.跟踪训练4 解 1五位数中不含数字
0.第1步,选出5个数字,共有CC种选法.第2步,排成偶数——先排末位数,有A种排法,再排其他四位数字,有A种排法.所以N1=C·C·A·A.2五位数中含有数字
0.第1步,选出5个数字,共有C·C种选法.第2步,排顺序又可分为两小类
①末位排0,有A·A种排列方法;
②末位不排
0.这时末位数有C种选法,而因为零不能排在首位,所以首位有A种排法,其余3个数字则有A种排法.所以N2=C·CA·A+A·A.所以符合条件的偶数个数为N=N1+N2=CCAA+CCAA+AA=
4560.例5 15解析 先拿3个优秀名额分配给二班1个,三班2个,这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中,每个班级中至少分配到1个.利用“隔板法”可知,共有C=15种不同的分配方案.跟踪训练5 96解析 用间接法六个数字能构成的三位数共6×6×6=216个,而无重复数字的三位数共有A=6×5×4=120个.故所求的三位数的个数为216-120=
96.当堂训练1.14
2.2520
3.48
4.36
5.90。