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第11讲 反比例函数重难点1 反比例函数的图象和性质 已知反比例函数y=,完成下列问题1若k0,则函数分布在第
二、四象限;2若直线y=axa>0与反比例函数y=交于点A2,m和点Bn,-1,则m+n=-1,且反比例函数的解析式为y=;3当k0时,有点Ax1,y1与点Bx2,y2在反比例函数y=的图象上,若y10y2,则x1与x2的大小关系是x10x2;4如图,在同一直角坐标系中,函数y=与y=kx+k2的大致图象是C A B C D
①反比例函数图象除一般常规的性质外,还有一条重要性质——对称性,反比例函数图象既是轴对称对称图形又是中心对称图形.
②判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象共存的方法假设其中反比例函数解析式与图象吻合,确定k的取值范围,然后确定一次函数的图象,看是否相符.K注意反比例函数的增减性需要强调“在每个象限内”.【变式训练1】 xx·滨州若点A-2,y1,B-1,y2,C1,y3都在反比例函数y=k为常数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为y2<y1<y3.【变式训练2】 xx·菏泽直线y=kxk0与双曲线y=交于Ax1,y1和Bx2,y2两点,则3x1y2-9x2y1的值为36.重难点2 反比例函数中k的几何意义 1如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=x0的图象交矩形OABC的边AB于点D,交边BC于点E,且BE=2EC.
①若四边形ODBE的面积为6,则k的值为3.方法一坐标法通法第一步设点设点C的坐标为a,0.第二步标其他点∵点E在反比例函数图象上,∴代入得yE=,则点E坐标为a,.∵BE=2EC,∴点B的坐标为a,.又∵点D与点B的纵坐标一样,且点D在反比例函数图象上,∴点D的坐标为,.第三步列方程∵S四边形ODBE=S四边形ODBC-S△OCE=6,∴代入各点坐标后解得,k=3.方法二面积法连接OB,∵四边形OABC是矩形,点D,E在反比例函数图象上,∴S△OAD=S△OCE=.又∵BE=2EC,∴S△OBE=2S△OCE=k.∵OB是矩形的对角线,∴S△AOB=S△BOC=.∴S△OBD=S△OBE=k.∴S四边形ODBE=S△ODB+S△OBE=2k=6,即k=
3.
②【拓展提问】 连接DE,若△BDE的面积为6,则k=9.2如图,A,B是双曲线y=上的两点,过点A作AC⊥x轴,交OB于点D,垂足为C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为-.3xx·玉林如图,点A,B在双曲线y=x>0上,点C在双曲线y=x>0上.若AC∥y轴,BC∥x轴,且AC=BC,则AB等于BA.B.2C.4D.3 4如图,O为坐标原点,四边形OACB是菱形,OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB=,反比例函数y=在第一象限的图象经过点A,与BC交于点F,则△AOF的面积等于DA.60B.80C.30D.40 坐标法求k的几何意义的步骤第一步→设点.用未知数表示点的坐标,通常从较小的点开始;第二步→标其他点.将图中所用到的点都用假设的未知数表示;第三步→列方程.根据已知条件,一般是利用面积或将点的坐标代入解析式.请务必将此方法学会,以应对题型的变化如图,则S△OAB=S梯形ABCD.如图,结论矩形ABCO与反比例函数图象交于点E,F,则=.在运用k的几何意义确定k值时,一定要结合函数图象确定k取值的范围,否则易出现符号错误.几何图形与“两条”双曲线相交4题如果用面积法怎么做?提示连接AB,则S△AOB=S△AOF重难点3 反比例函数与一次函数综合 xx·淄博改编如图,直线y1=-x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A1,m,这两条直线分别与x轴交于B,C两点.1求y与x之间的函数关系式;2直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;3若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.【思路点拨】 1求出点A的坐标,将点A坐标代入y=,即可求出y与x之间的函数关系式;2观察图象即可得出解集;3分两种情况讨论,CP=3PB或CP=BP.【自主解答】 解1将A1,m代入y1=-x+4,可得m=-1+4=
3.∴A1,3.将A1,3代入双曲线y=,可得k=1×3=
3.∴y与x之间的函数关系式为y=.2∵A1,3,∴当x>0时,不等式x+b>的解集为x>
1.3y1=-x+4,令y=0,则x=
4.∴点B的坐标为4,0.把A1,3代入y2=x+b.可得3=+b.∴b=.∴y2=x+.令y=0,则x=-3,即C-3,0.∴BC=
7.∵AP把△ABC的面积分成1∶3两部分,∴CP=BC=,或BP=BC=.∴OP=3-=,或OP=4-=.∴P-,0或,0.对于一次函数与反比例函数综合题,常涉及以下几个方面1.求交点坐标联立方程组求解即可.2.确定函数解析式将交点坐标代入y=可求k,由两交点A,B坐标利用待定系数法可求y=ax+b.3.利用函数图象确定不等式ax+b>或ax+b<的解集时,数形结合进行分析判断1先找交点,以交点为界;2观察交点左右两边区域的两个函数图象的上、下位置关系;3根据图象在上方,函数值较大,图象在下方,函数值较小,即可求出自变量的取值范围.4.涉及与面积有关的问题时,要善于把点的横、纵坐标转化为图形边长的长度,对于所求图形的边均不在x轴、y轴或不与坐标轴平行的时候,不便直接求,可分割为易求的规则图形面积进行相关转化.K【拓展提问】 4设y1=-x+4与双曲线的另一交点为点D,在x轴上找一点Q使得QA+QD的值最小,并写出Q点坐标,0.【变式训练3】 xx·潍坊改编如图,直线y=3x-5与反比例函数y=的图象相交于A2,m,Bn,-6两点,连接OA,OB.1则k=3,n=-;2求△AOB的面积.解设直线y=3x-5分别与x轴,y轴相交于点C,点D,当y=0时,即3x-5=0,x=,∴OC=.当x=0时,y=3×0-5=-5,∴OD=
5.∵点A2,m在直线y=3x-5上,∴m=3×2-5=1,即A2,1.∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD=××1+×5+×5=.求两个交点与坐标原点构成的三角形的面积的关键点与例题相同——一次函数图象与坐标轴的交点;求三角形面积时可采用割补法.考点1 反比例函数的图象与性质1.xx·柳州已知反比例函数的解析式为y=,则a的取值范围是CA.a≠2B.a≠-2C.a≠±2D.a=±22.xx·海南已知反比例函数y=的图象过点P-1,2,则这个函数的图象位于DA.
二、三象限B.
一、三象限C.
三、四象限D.
二、四象限3.xx·广东如图,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1xk1≠0与双曲线y=k2≠0相交于A,B两点,已知点A的坐标为1,2,则点B的坐标为AA.-1,-2B.-2,-1C.-1,-1D.-2,-24.xx·衡阳对于反比例函数y=-,下列说法不正确的是DA.图象分布在第
二、四象限B.当x>0时,y随x的增大而增大C.图象经过点1,-2D.若点Ax1,y1,Bx2,y2都在图象上,且x1<x2,则y1<y25.反比例函数y=与一次函数y=-kx-k在同一直角坐标系中的图象可能是C6.xx·兰州如图,反比例函数y=x0与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式x+4x0的解集为BA.x-3B.-3x-1C.-1x0D.x-3或-1x
07.xx·威海改编若点-2,y1,-1,y2,3,y3在双曲线y=k<0上,则y1,y2,y3的大小关系是y3<y1<y2.考点2 反比例函数的应用8.码头工人往一艘轮船上装载货物,装完货物所需时间ymin与装载速度xt/min之间的函数关系如图双曲线y=的一支.如果以5t/min的速度卸货,那么卸完货物需要时间是120min.考点3 反比例函数中k的几何意义9.xx·郴州如图,A,B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,则△OAB的面积是BA.4B.3C.2D.110.xx·贵阳如图,过x轴上任意一点P作y轴的平行线,分别与反比例函数y=x>0,y=-x>0的图象交于点A和点B.若C为y轴任意一点,连接AB,BC,则△ABC的面积为.11.xx·烟台如图,反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P,已知点A,C,D在坐标轴上,BD⊥DC,▱ABCD的面积为6,则k=-3.考点4 反比例函数与一次函数综合12.xx·成都如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A-2,0,与反比例函数y=x>0的图象交于Ba,4.1求一次函数和反比例函数的表达式;2设M是直线AB上一点,过M作MN∥x轴,交反比例函数y=x>0的图象于点N.若A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.解1∵一次函数y=x+b的图象经过点A-2,0,∴-2+b=
0.∴b=
2.∴y=x+
2.∵一次函数与反比例函数y=x>0交于Ba,4,∴a+2=
4.∴a=
2.∴B2,4.∴y=x>0.2设Mm-2,m,N,m.当MN∥AO且MN=AO时,四边形AOMN是平行四边形.即|-m-2|=2且m>0,解得m=2或m=2+
2.∴M的坐标为2-2,2或2,2+2.13.xx·济南如图,点A是反比例函数y=x>0图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D,连接DC.若△BOC的面积是4,则△DOC的面积是2-2.14.xx·孝感如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标为-1,1,点B在x轴正半轴上,点D在第三象限的双曲线y=上,过点C作CE∥x轴交双曲线于点E,连接BE,则△BCE的面积为7.15.xx·北京在平面直角坐标系xOy中,函数y=x>0的图象与直线y=x-2交于点A3,m.1求k,m的值;2已知点Pn,nn>0,过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y=x>0的图象于点N.
①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由;
②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.解1将A3,m代入y=x-2,∴m=3-2=
1.∴A3,1.将A3,1代入y=,∴k=3×1=
3.2
①当n=1时,P1,1.令y=1代入y=x-2,∴x=
3.∴M3,1.∴PM=
2.令x=1代入y=,∴y=
3.∴N1,3.∴PN=
2.∴PM=PN.
②Pn,n,n>0,P在直线y=x上,过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,Mn+2,n,∴PM=
2.∵PN≥PM,即PN≥2,∵PN=|-n|,|-n|≥
2.∴0<n≤1或n≥
3.。