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第2章 推理与证明A时间120分钟 满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分1.下列推理过程是类比推理的是__________.
①人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为
②科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
③通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
④由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2.观察式子1+,1++,1+++,…,则可归纳出一般式子为______________________.3.若a,b,c均为实数,则下面四个结论均是正确的
①ab=ba;
②abc=abc;
③若ab=bc,b≠0,则a-c=0;
④若ab=0,则a=0或b=
0.对向量a,b,c,用类比的思想可得到以下四个结论
①a·b=b·a;
②a·bc=ab·c;
③若a·b=b·c,b≠0,则a=c;
④若a·b=0,则a=0或b=
0.其中正确结论的个数为________.4.已知数列{an}满足a1=0,an+1=n∈N*,则a2010=________.5.设凸n边形的内角和为fn,则fn+1-fn=______.6.观察下列数表规律则从数2010到2011的箭头方向是__________.7.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为fk,则增加了一条直线后,它们的交点个数最多为____________.8.勾股定理在直角边长为a、b,斜边长为c的直角三角形中,有a2+b2=c
2.类比勾股定理可得,在长、宽、高分别为p、q、r,体对角线长为d的长方体中,有______________.9.下列三句话按三段论的模式排列顺序是________.
①2010能被2整除;
②一切偶数都能被2整除;
③2010是偶数.10.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面______________________.11.在△ABC中,D为边BC的中点,则=+.将上述命题类比到四面体中去,得到一个类比命题________________________________.12.对于“求证函数fx=-x3在R上是减函数”,用“三段论”可表示为大前提是“对于定义域为D的函数fx,若对任意x1,x2∈D且x2-x10,有fx2-fx10,则函数fx在D上是减函数”,小前提是“__________________________”,结论是“fx=-x3在R上是减函数”.13.在古希腊,毕达哥拉斯学派把13610152128364555,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成正三角形如图所示,则三角形数的一般表达式fn=__________.14.下面的四个不等式
①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
②a1-a≤;
③+≥2;
④a2+b2·c2+d2≥ac+bd
2.其中不成立的有________个.
二、解答题本大题共6小题,共90分15.14分设fx=x2+ax+b,求证|f1|,|f2|,|f3|中至少有一个不小于.16.14分已知函数fx=lg,x∈.若x1,x2∈且x1≠x2,求证[fx1+fx2]f.17.14分已知a0,b0,a+b=1,求证+≤
2.18.16分如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.1求证DF∥平面ABC;2求证AF⊥BD.19.16分设二次函数fx=ax2+bx+ca≠0中的a,b,c均为整数,且f0,f1均为奇数,求证方程fx=0无整数根.20.16分观察下表1,23,4567,89101112131415,…问1此表第n行的最后一个数是多少?2此表第n行的各个数之和是多少?32008是第几行的第几个数?第2章 推理与证明A答案1.
②2.1+++…+n≥2解析 由合情推理可归纳出1+++…+n≥2.3.1解析 利用类比思想结合向量的定义及性质,特别是向量的数量积的定义可知
①正确,
②③④不正确.4.解析 a2==-,a3==,a4=0,所以此数列具有周期性,0,-,依次重复出现.因为2010=3×670,所以a2010=.5.180°解析 作凸n+1边形的一条对角线,使之成为一个凸n边形和一个三角形.6.→7.fk+k解析 增加一条直线后,最多和原来的k条直线都相交,有k个交点,所以交点个数最多为fk+k.8.p2+q2+r2=d29.
②③①10.各正三角形的中心解析 正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.11.在四面体A—BCD中,G为△BCD的重心,则=++12.对于任意x1,x2∈R且x2-x10,有fx2-fx1=-x+x=-x2-x1x+x1x2+x=-x2-x1·013.解析 当n=1时,1=;当n=2时,3=;当n=3时,6=;当n=4时,10=;…,猜想fn=.14.1解析 由a2+b2+c2-ab+bc+ca=[2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca]=[a-b2+b-c2+c-a2]≥0,故
①正确.由-a1-a=-a+a2=2≥0,故
②正确.a2+b2·c2+d2-ac+bd2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2acbd-b2d2=a2d2+b2c2-2abcd=ad-bc2≥0,故
④正确.∵+≥2或+≤-2,∴
③不正确.15.证明 假设|f1|,|f2|,|f3|,于是有-1+a+b
①-4+2a+b
②-9+3a+b
③①+
③,得-110+4a+2b1,所以-38+4a+2b-1,所以-4+2a+b-.由
②知-4+2a+b,矛盾,所以假设不成立,即|f1|,|f2|,|f3|中至少有一个不小于.16.证明 要证原不等式成立,只需证明2,事实上,∵0x1,x2,x1≠x2,∴-2=---+=
0.∴2,即有lglg2,故[fx1+fx2]f.17.证明 ∵1=a+b≥2,∴ab≤.∴a+b+ab+≤
1.∴≤
1.从而有2+2≤
4.即++2≤
4.∴2≤
4.∴+≤
2.18.证明 1取AB的中点G,连结FG,CG,可得FG∥AE,FG=AE,又CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,∴CD∥AE,CD=AE,∴FG∥CD,FG=CD.又∵FG⊥平面ABC,∴四边形CDFG是矩形,DF∥CG,CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,∴DF∥平面ABC.2Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点,∴AF⊥BE,∵△ABC是正三角形,∴CG⊥AB,∴DF⊥AB,又DF⊥FG,FG∩AB=G,∴DF⊥平面ABE,DF⊥AF,又∵DF∩BE=F,∴AF⊥平面BDF,又BD⊂平面BDF,∴AF⊥BD.19.证明 假设方程fx=0有一个整数根k,则ak2+bk+c=
0.
①因为f0=c,f1=a+b+c均为奇数,所以a+b必为偶数,当k为偶数时,令k=2nn∈Z,则ak2+bk+c=4n2a+2nb+c=2n2na+b+c必为奇数,与
①式矛盾;当k为奇数时,令k=2n+1n∈Z,则ak2+bk+c=2n+12na+a+b+c为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数,必为奇数,也与
①式矛盾,故假设不成立.综上可知方程fx=0无整数根.20.解 1由表知,从第二行起,每行的第一个数为偶数,所以第n+1行的第一个数为2n,所以第n行的最后一个数为2n-
1.2由1知第n-1行的最后一个数为2n-1-1,第n行的第一个数为2n-1,第n行的最后一个数为2n-
1.又由观察知,每行数字的个数与这一行的第一个数相同,所以由等差数列求和公式得,Sn==22n-3+22n-2-2n-
2.3因为210=1024211=2048,又第11行最后一个数为211-1=2047,所以2008是在第11行中,由等差数列的通项公式得,2008=1024+n-1·1,所以n=985,所以2008是第11行的第985个数.。