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第2章 推理与证明B时间120分钟 满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则
①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;
②“m+nt=mt+nt”类比得到“a+b·c=a·c+b·c”;
③“m·nt=mn·t”类比得到“a·b·c=a·b·c”;
④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;
⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑥“=”类比得到“=”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是________.2.数列1123,x81321,…中的x值为________.3.若数列{an}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,…,则a8=________.4.p=+,q=·m、n、a、b、c、d均为正数,则p、q的大小关系为________.5.凡自然数是整数,4是自然数,所以4是整数.对以上三段论推理下列说法正确的是__________请填写相应的序号.
①正确;
②推理形式不正确;
③两个“自然数”概念不一致;
④“两个整数”概念不一致.6.观察下列等式C+C=23-2,C+C+C=27+23,C+C+C+C=211-25,C+C+C+C+C=215+27,…由以上等式推测到一个一般的结论对于n∈N*,C+C+C+…+C=______________.7.对于等差数列{an}有如下命题“若{an}是等差数列,a1=0,s、t是互不相等的正整数,则有s-1at=t-1as”.类比此命题,给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是“__________________________________________”.8.设fx是定义在实数集R上的函数,且满足fx+2=fx+1-fx,如果f1=lg,f2=lg15,则f2010=__________.9.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0~1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第________行;第61行中1的个数是________.第1行 1 1第2行1 0 1第3行1 1 1 1第4行1 0 0 0 1第5行1 1 0 0 1 1…………10.某同学准备用反证法证明如下一个问题函数fx在
[01]上有意义,且f0=f1,如果对于不同的x1,x2∈
[01],都有|fx1-fx2||x1-x2|,求证|fx1-fx2|.那么它的反设应该是______________________________.11.凸函数的性质定理为如果函数fx在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f,已知函数y=sinx在区间0,π上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为_________________________.12.若不等式-1na2+对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是________.13.由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________.14.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为_____________________________________________________________________.
二、解答题本大题共6小题,共90分15.14分已知a、b、c是互不相等的正数,且abc=1,求证++++.16.14分把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立.1如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交;2如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行.17.14分已知a0,求证-≥a+-
2.18.16分在不等边△ABC中,A是最小角,求证A60°.19.16分先解答1,再通过类比解答2.1求证tan=;2设x∈R且fx+1=,试问fx是周期函数吗?证明你的结论.20.16分等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+
3.1求数列{an}的通项an与前n项和Sn;2设bn=n∈N*,求证数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.第2章 推理与证明B答案1.2解析 只有
①②对,其余错误.2.5解析 每相邻两数相加等于后面的数.3.512解析 由a1,a2,a3,a4的形式可归纳,∵1+2+3+4+…+7==28,∴a8的首项应为第29个正奇数,即2×29-1=
57.∴a8=57+59+61+63+65+67+69+71==
512.4.p≤q解析 q=≥=+=p.5.
①解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的.6.24n-1+-1n22n-17.若{bn}是等比数列,b1=1,s,t是互不相等的正整数,则有b=b解析 由类比推理可得.8.-1解析 由f1=lg=lg15-1,f2=lg15,f3=f2-f1=1,f4=f3-f2=1-lg15,f5=f4-f3=-lg15,f6=f5-f4=-1,f7=f6-f5=lg15-1,f8=f7-f6=lg15,…,可以猜想到,从f7开始,又重复了上述数值,即fx+6=fx,∴f2010=f335×6=f6=-
1.9.2n-1 32解析 1第一次全行的数都是1的是第1行,第二次全行的数都是1的是第3行,第三次全行的数都是1的是第7行,第n次全行的数都是1的是第2n-1行.21 1 0 0 … 0 0 1 1……第61行 1 0 1 0 … 0 1 0 1 ……第62行1 1 1 1 … 1 1 1 1……第63行由图可知第61行的数的特点是两个1两个0交替出现,最后两个数为1,所以在第61行的62个数中有32个
1.10.“∃x1,x2∈
[01],使得|fx1-fx2||x1-x2|且|fx1-fx2|≥”11.解析 ∵fx=sinx在区间0,π上是凸函数,且A、B、C∈0,π,∴≤f=f,即sinA+sinB+sinC≤3sin=,所以sinA+sinB+sinC的最大值为.12.-2≤a解析 当n为偶数时,a2-,而2-≥2-=,∴a.当n为奇数时,a-2-,而-2--2,∴a≥-
2.综上可得-2≤a.13.正棱锥各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.14.v1v2解析 设甲地到乙地的距离为S,船在静水中的速度为v2,水流速度为vv2v0,则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t=+=,平均速度v1==.∵v1-v2=-v2=-0,∴v1v
2.15.证明 ∵a、b、c是不等正数,且abc=1,∴++=++++=++.故++++.16.解 1类比为如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交.结论是正确的证明如下设α∥β,且γ∩α=a,则必有γ∩β=b,若γ与β不相交,则必有γ∥β,又α∥β,∴α∥γ,与γ∩α=a矛盾,∴必有γ∩β=b.2类比为如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误的,这两个平面也可能相交.17.证明 要证-≥a+-2,只要证+2≥a++.∵a0,故只要证2≥2,即a2++4+4≥a2+2++2+2,从而只要证2≥,只要证4≥2,即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.18.证明 假设A≥60°,∵A是不等边三角形ABC的最小角,∵BA≥60°,CA≥60°,∴A+B+C180°,与三角形内角和等于180°矛盾,∴假设错误,原结论成立,即A60°.19.1证明 tan==;2解 fx是以4为一个周期的周期函数.证明如下∵fx+2=fx+1+1===-,∴fx+4=fx+2+2=-=fx,∴fx是周期函数.20.1解 由已知得∴d=2,故an=2n-1+,Sn=nn+.2证明 由1得bn==n+.假设数列{bn}中存在三项bp、bq、brp、q、r∈N*且互不相等成等比数列,则b=bpbr,即q+2=p+r+,∴q2-pr+2q-p-r=
0.∵p、q、r∈N*,∴∴2=pr,p-r2=0,∴p=r,这与p≠r矛盾.∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.。