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文本内容:
面面平行的性质
一、考点突破知识点课标要求题型说明两平面平行的性质理解并掌握平面与平面平行的性质定理选择题填空题解答题注意面面、线面、线线这些几何关系的相互转化,领会立体几何图形间关系的转化思想
二、重难点提示重点平面与平面平行的性质定理及其应用难点平面与平面平行的性质定理的理解及应用考点一两平面平行的性质
1.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面∥,∥
2.夹在两个平行平面间的平行线段相等∥,,且∥
3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行有且只有一个平面,使得且∥
4.性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b
5.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例∥∥,直线、与、、分别交于考点二两平行平面间的距离
1.公垂线与两个平行平面都垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的公垂线段
2.两个平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段都相等,公垂线段的长度就叫做两个平行平面间的距离例题1(利用平面与平面平行的性质证明)已知平面α∥平面β∥平面γ,两条异面直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F求证思路分析
(1)证明线段成比例问题,常用什么方法?
(2)如何寻求线线平行?答案如图,连接DC,设DC与平面β相交于点G,则平面ACD与平面α、β分别相交于直线AD、BG,平面DCF与平面β、γ分别相交于直线GE、CF,因为α∥β,β∥γ,所以BG∥AD,GE∥CF,于是在△ADC内有=,在△DCF内有=,∴技巧点拨
1.解本题的关键是利用面面平行的性质得出线线平行
2.应用两个平面平行的性质一是可以证明直线与直线平行,二是可以解决线面平行的问题注意使用性质定理证明线线平行时,一定是第三个平面与两个平行平面相交,其交线互相平行例题2(求两平行平面间的距离)在棱长为的正方体中,求平面与平面之间的距离思路分析本题主要考查两个平行平面间距离的求法,求解的关键是找到与两平面垂直相交的线段,可先证明两平面平行,然后再找它们的公垂线答案由题意知∥,∥,故易证平面∥平面连接,分别交平面和平面于点、,又由正方体性质知平面,又平面,所以同理,又平面平面,即线段为平面和平面的公垂线段如下图在对角面中,为中点,为中点,技巧点拨把立体几何中的空间距离问题转化到平面几何图形中求长度,注意这种转化思想的应用因线线、线面、面面平行关系转化不当致误【例析】如图所示,平面α∥平面β,AC与BD为异面直线,且AC⊂α,BD⊂β,M、N分别为AB、CD的中点,求证MN∥平面β【错解1】∵α∥β,AC⊂α,∴AC∥β,又∵BD⊂β,∴AC∥BD,∵M、N分别为AB、CD的中点,∴MN∥BD,∵MN⊄β,BD⊂β,∴MN∥平面β【错解2】连接BC,取BC的中点P,连接PM、NP,如图所示,在△ABC中,M、P分别是AB、BC的中点,∴MP∥AC,∵MP⊄平面α,AC⊂α,∴MP∥平面α,同理,PN∥平面β,∵α∥β,∴MP∥平面β,又PN∩MP=P,∴平面MPN∥平面β,而MN⊂平面MPN,∴MN∥平面β【错因分析】错解1中,由CA∥平面β得不到AC与平面β内的所有直线平行因此,由AC∥平面β,BD⊂平面β得不到AC∥BD,这是对线面平行的性质定理理解不透彻所致,而且若AC∥BD,则A、B、C、D四点共面,与已知条件中AC,BD异面不符错解2中“因为α∥β,MP∥平面α,所以MP∥平面β”这一步是没有依据的,尽管当MP⊄β时结论成立,但仍需要证明【防范措施】运用定理或推论来推理时,一定要保证相关的条件满足要求另外,也不能把自己认为正确的结论(事实上也可能是正确的),不加证明就应用于解题过程中【正解】∵AB∩AC=A,∴AB和AC确定一个平面γ,则γ∩α=AC,∵B∈AB,AB⊂γ,B∈β,∴B是γ与β的公共点,于是可设β∩γ=BE,如图所示连接CE、DE,取CE的中点P,连接MP、PN,∵α∥β,α∩γ=AC,β∩γ=BE,∴AC∥BE,又M、P分别为AB、CE的中点,∴MP∥BE,∵BE⊂β,MP⊄β,∴MP∥β,在△CED中,P、N分别为CE、CD的中点,∴PN∥DE又PN⊄β,DE⊂β,∴PN∥β,又∵MP∩PN=P,∴平面MNP∥平面β,∵MN⊂平面MNP,∴MN∥平面β。