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文本内容:
线面垂直的综合运用
一、考点突破知识点课标要求题型说明线面垂直的综合应用
1.熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理;
2.解题中规范使用数学语言,严格证题过程;
3.重视转化思想的应用,解题中要以寻找线线垂直作为突破选择题填空题解答题
1.考查垂直关系的命题的判定;
2.考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质;
3.考查平行和垂直的综合问题;
4.考查空间想象能力,逻辑思维能力和转化思想
二、重难点提示重点线面垂直关系的判定与性质定理的应用难点求点到面的距离,线面角及有关垂直的几何证明考点直线与平面的垂直
1.直线和平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面⇒l⊥α如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行⇒a∥b【要点诠释】注意判定定理中相交条件很重要,判定定理的特征是垂直垂直;性质定理的特征是垂直平行
2.判定直线和平面垂直的方法
①定义法
②利用判定定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线和此平面垂直,简述为“线线垂直线面垂直”
③推论如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直这个平面
3.直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线,即线面垂直线线垂直
②垂直于同一个平面的两条直线平行
③垂直于同一条直线的两平面平行
4.点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离
5.直线和平面的距离一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离
6.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角,其范围是例题1(与定理有关的几何证明)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交求证EF∥BD1思路分析先证明BD1⊥平面AB1C,再证明EF⊥平面AB1C,最后说明EF∥BD1答案如图所示,连接AB
1、B1D
1、B1C、BD,∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1B1,又BD1⊂平面BDD1B1,∴AC⊥BD1,同理可证BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C,∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C,又∵EF⊥AC,∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1技巧点拨
1.题目要求证平行关系,而条件中多为垂直关系时,常考虑线面垂直的性质定理,从垂直向平行进行转化
2.平行与垂直的转化关系例题2(求点到面的距离或直线到平面的距离)已知P为△ABC外一点,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求P点到平面ABC的距离思路分析利用垂直找到射影,然后再求垂线段长度答案取AB中点D,连接PD、DC,∵PA=PB,∴AB⊥PD,又∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面ABP,AB⊂面ABP,∴AB⊥PC,∵PD∩PC=P,∴AB⊥平面PCD,在平面PCD内,过P作PH⊥DC于H,则AB⊥PH,∴PH⊥平面ABC,∴PH即为P点到平面ABC的距离,∵PD⊂平面ABP,∴PC⊥PD,∵PA=PB=PC=a,∴PD=a,CD=a,∴PH=,故P点到平面ABC的距离为技巧点拨可以利用以下方法寻找点在平面内的射影P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影
(1)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的内心;
(2)若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的垂心;
(3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是△ABC的外心;
(4)若PA=PB=PC,则O是△ABC的外心例题3(求直线与平面所成的角)如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)证明AE⊥平面PCD;思路分析先找出PB和平面PAD所成的角,对于线面角的定义要能灵活运用;答案在四棱锥P—ABCD中,因PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,从而AB⊥平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角,在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°,所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°;
(2)证明在四棱锥P—ABCD中,因PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,故CD⊥PA,由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC,∴AE⊥CD,由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA,∵E是PC的中点,∴AE⊥PC,又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD技巧点拨求直线与平面所成的角的一般步骤
①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;
②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解立体几何中的分类讨论思想【满分训练】如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a0),PA⊥平面ABCD,且PA=1,问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD,并说明理由思路分析把题目中的关系转化到矩形ABCD中来研究答案假设存在点Q,使得PQ⊥QD,连接AQ,由已知PA⊥平面ABCD,且DQ⊂平面ABCD,∴PA⊥DQ,又∵PQ⊥DQ,且PQ∩PA=P,PQ,PA⊂平面PAQ,∴DQ⊥平面PAQ,∵AQ⊂平面PAQ,∴AQ⊥DQ.设BQ=x,则CQ=a-x,AQ2=x2+1,DQ2=(a-x)2+1,∵AQ2+DQ2=AD2,∴x2+1+(a-x)2+1=a2,即x2-ax+1=0(*),方程(*)的判别式Δ=a2-4,∵a0,∴当Δ0,即0a2时,方程(*)无实根;当Δ=0,即a=2时,方程(*)有唯一实根,此时x=1;当Δ0,即a2时,方程(*)有两个不等实根,设两个实根分别为x1,x2,由于x1+x2=a0,x1x2=10,则这两个实根均为正数,因此,当0a2时,BC边上不存在点Q使PQ⊥QD;当a=2时,BC边上存在唯一一点Q(即BC中点),使PQ⊥QD;当a2时,BC边上存在不同的两点Q,使PQ⊥QD技巧点拨注意这种立体几何向平面几何转化,几何向代数转化的思想的运用,并且运用了分类讨论思想。