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2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)I
一、选择题(包括12小题,每小题5分,共60分)
1.设全集集合,集合,则=A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】找出全集U中不属于Q的元素,确定出Q的补集,找出P与Q补集的公共元素,即可确定出所求的集合.【详解】由题全集U={1,2,3,4,5,6},Q={3,4,5},∴CUQ={1,2,6},又P={1,2,3,4},则P∩(CUQ)={1,2}.故选D.【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.
2.已知映射其中集合,集合中的元素都是中元素在映射下的象,且对任意的a,在B中和它对应的元素是,则集合B中元素的个数是A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】先找出对应关系,根据原像判断像的值及像的个数,像的个数即是集合B中元素的个数.【详解】∵对应关系为f a→|a|,A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4},∴|a|=0,1,2,3,4,共5个值,故集合B中元素的个数为 5个,故选B.【点睛】本题考查映射的概念,像与原像的定义,集合A中所有元素的不同像的个数即为集合B中元素的个数.
3.下列函数中,与相同的函数是( )A.B.y=lg10xC.D.【答案】B【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同,对应法则也相同,即可判断它们是同一函数.【详解】对于A,,与函数的对应法则不同,不是同一函数;对于B,与函数的定义域相同,对应法则也相同,是同一函数;对于C,,与函数的定义域不同,不是同一函数;对于D,,与函数的定义域不同,不是同一函数.故选B.【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题.
4.不论a取何正实数,函数恒过点( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令指数为0,即可求得函数恒过点.【详解】令x+1=0,可得x=-1,则∴不论取何正实数,函数恒过点(-1,-1)故选A.【点睛】本题考查指数函数的性质,考查函数恒过定点,属于基础题.
5.若函数,那么()A.1B.3C.15D.30【答案】C【解析】试题分析因为,所以由得,又因为,所以,故答案为.考点复合函数的概念及求函数值.
6.函数的定义域为()A.(,+∞)B.[1,+∞C.(,1D.(-∞,1)【答案】C【解析】【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零,对数的真数大于零,列出不等式组,进行求解再用集合或区间的形式表示出来.【详解】要使函数有意义,则,解得则函数的定义域是故选C.【点睛】本题考查了函数定义域的求法,即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组,最后注意要用集合或区间的形式表示出来,这是易错的地方.
7.下列函数为奇函数,且在上单调递增的函数是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.【详解】根据题意,依次分析选项对于A,,函数为偶函数,不符合题意;对于B,,函数为奇函数,在单调递减,不符合题意;对于C,函数不是奇函数,不符合题意;对于D,,为奇函数,且在上单调递增,符合题意;故选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性以及单调性.
8.设,则它们的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性比较a、c与1的大小,结合b小于0可得答案.【详解】故选C.【点睛】本题考查对数值的大小比较,考查了指数函数的单调性,是基础题.
9.函数fx=lnx2+1的图象大致是 A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析函数的定义域为,所以排除B;又,所以函数为偶函数,图像关于轴对称,所以排除C;又因为,所以排除D.故A正确.考点函数图像.视频
10.设函数,则不等式的解集是 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求f
(1),依据x的范围分类讨论,求出不等式的解集.【详解】f
(1)=3,当不等式f(x)>f
(1)即f(x)>3如果x<0 则x+6>3可得x>-3,可得-3<x<0.如果x≥0有x2-4x+6>3可得x>3或 0≤x<1综上不等式的解集(-3,1)∪(3,+∞)故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,考查分类讨论的思想,是中档题.
11.已知函数在上是x的减函数,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的性质进行分析求解【详解】∵y=loga(3-ax)在[0,1]上是x的减函数∴0<3-a≤3-ax≤3即a<3
①又∵y=loga(3-ax)在[0,1]上是x的减函数,且3-ax是减函数∴a>1
②综上所述1<a<3故选B.【点睛】考查了复合函数的关于减函数的性质,属于基础题
12.已知函数在上是单调函数,且满足对任意,都有,则的值是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得为一常数,进而可得函数的解析式,将代入可得答案.【详解】∵对任意x∈R,都有f[f(x)-3x]=4,且函数f(x)在R上是单调函数,故f(x)-3x=k,即f(x)=3x+k,∴f(k)=3k+k=4,解得k=1,故f(x)=3x+1,∴f
(2)=10,故选C.【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数解析式的求法,函数求值,其中根据已知得到函数的解析式,是解答的关键.
二、填空题(包括4小题,每小题5分,共20分)
13.已知幂函数y=的图象经过点,则f
(9)=______________【答案】【解析】【分析】设幂函数,再由题意可得,由此求得的值,可得y=的解析式,从而可求f
(9)的值.【详解】设幂函数,再由题意可得,即,故答案为.【点睛】本题主要考查用待定系数法求幂函数的解析式,属于基础题.
14.函数的值域是________________【答案】【解析】【分析】配方,由二次函数的图象可得函数在[-3,-1]单调递减,在[-1,2]单调递增,可得最值,可得答案.【详解】配方可得y=x2+2x-1=(x+1)2-2,函数的图象为开口向上,对称轴为x=-1的抛物线的一段,由二次函数的知识可知函数在[-3,-1]单调递减,在[-1,2]单调递增,故函数在x=-1处取到最小值y=-2,在x=2处取到最大值y=7,故原函数的值域为[-2,7]故答案为[-2,7]【点睛】本题考查二次函数区间的最值,得出其单调区间是解决问题的关键,属基础题.
15.已知,则的取值范围_______________.【答案】【解析】【分析】先把1变成底数的对数,再讨论底数与1的关系,确定函数的单调性,根据函数的单调性整理出关于的不等式,得到结果,把两种情况求并集得到结果.【详解】当时,函数是一个增函数,不等式的解是,当时,函数是一个减函数,根据函数的单调性有立;综上可知的取值是a>2或0<a<1.故答案为【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识,本题解题的关键是对于底数与1的关系,这里应用分类讨论思想来解题.
16.
①在同一坐标系中,与的图象关于轴对称
②是奇函数
③与的图象关于成中心对称
④的最大值为,以上四个判断正确有____________________(写上序号)【答案】【解析】【分析】
①通过换底公式得到由图象对称即可判断正误;
②利用函数的奇偶性的定义判断即可;
③通过函数的对称性,判断由图象对称即可判断;
④通过复合函数的性质以及最值判断正误即可;【详解】对于
①由于,则在同一坐标系中,与的图象关于轴对称,故
①正确;对于
②,函数的定义域为,因为(,所以函数是奇函数,
②正确;对于
③,因为的对称中心,函数向左平移2单位,向上平移1单位,得到的图象的对称中心,所以函数的图象关于成中心对称,所以
③正确.对于
④,因为,函数是偶函数,时,函数是减函数,时,函数是增函数,所以x=0时函数取得的最小值为,
④不正确;故答案为
①②③.【点睛】本题以命题的真假判断为载体,考查函数的奇偶性及图象,函数的单调性和应用,属于基本知识的考查.
三、解答题(17题10分18-22每题12分,共70分)
17.设全集为R,,,
(1)求及
(2)若集合,,求的取值范围.【答案】
(1);
(2).【解析】【分析】
(1)由并集运算求得A∪B,再由补集运算求;求出,再由交集运算求解(;
(2)由已知可得关于m的不等式,求解得答案.【详解】
(1),,,,
(2)集合,且,则m≥2.【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础的计算题.
18.
(1)
(2)【答案】
(1);
(2).【解析】【分析】
(1)化带分数为假分数,化负指数为正指数,再由有理指数幂的运算性质求解;
(2)直接利用对数的运算性质化简求值.【详解】解
(1)=.
(2)【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值及对数的运算性质,是基础的计算题.
19.已知函数
(1)用分段函数形式表示fx;
(2)在如图给定的直角坐标系内作出函数的草图(不用列表);
(3)若方程有两个解,求的取值范围【答案】
(1)见解析;
(2)见解析;
(3)【解析】【分析】
(1)讨论x<1,x≥1去绝对值,可得分段函数形式;
(2)由分段函数的画法可得;
(3)由题意可得y=f(x)与y=有两个交点,结合图象可得的范围.【详解】
(1)函数
(2)由分段函数的图象画法可得图象
(3)有两个解等价于与有两个交点…由图可知【点睛】本题考查分段函数的图象和性质,以及数形结合思想方法,考查运算能力,属于基础题.
20.函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且
(1)求的值;
(2)利用定义证明在(-1,1)上是增函数;
(3)求满足的的范围.【答案】
(1)b=0,a=1;
(2)见解析;
(3)【解析】【分析】
(1)由函数是奇函数可得可求,由可求,进而可求;
(2)运用函数的单调性的定义证明设自变量,作差,变形,定符号,下结论.
(3)由奇函数的定义,得到,再由函数的单调性,得到不等式组,解出即可.【详解】解
(1)∵f(x)是奇函数,∴即=,﹣ax+b=﹣ax﹣b,∴b=0,(或直接利用f
(0)=0,解得b=0).∴,∵f()=,∴解得a=1,∴f(x)=;
(2)证明任取x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,f(x1)﹣f(x2)=…=∵﹣1<x1<x2<1,∴﹣1<x1x2<1,x1﹣x20,,∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(﹣1,1)上是增函数.
(3)∵f(t﹣1)+f(t)<0,∴f(t﹣1)<﹣f(t),∵f(﹣t)=﹣f(t),∴f(t﹣1)<f(﹣t),又∵f(x)在(﹣1,1)上是增函数,∴0<t<…【点睛】本题主要考查了奇函数的性质的应用,利用该条件可以简化基本运算,函数单调性的定义的证明及应用,属于中档题.
21.已知为二次函数,且,
(1)求的表达式;
(2)设,其中,为常数且,求函数的最小值.【答案】
(1)f(x)=x2﹣2x﹣1;
(2)见解析.【解析】【分析】
(1)用待定系数法,设出的解析式,代中,求出系数即可.
(2)设即可得到再分类讨论,根据二次函数的性质即可求出最小值.【详解】解
(1)设f(x)=ax2+bx+c因为f(x+1)+f(x﹣1)=2x2﹣4x,所以a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=2x2﹣4x所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2﹣4x故有即,所以f(x)=x2﹣2x﹣1;综上所述【点睛】本题考查了求二次函数的解析式的问题,以及二次函数的性质,属于中档题.
22.已知集合M是满足下列性质的函数的全体在定义域内存在,使得成立.
(1)函数是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数,求的取值范围;
(3)已知函数图象与函数的图象有交点,根据该结论证明函数.【答案】
(1)见解析;
(2);
(3)见解析.【解析】【分析】
(1)集合M中元素的性质,即有f(x0+1)=f(x0)+f
(1)成立,代入函数解析式列出方程,进行求解,若无解则此函数不是M的元素,若有解则此函数是M的元素;
(2)根据f(x0+1)=f(x0)+f
(1)和对数的运算,求出关于a的方程,再根据方程有解的条件求出a的取值范围,当二次项的系数含有参数时,考虑是否为零的情况;
(3)利用f(x0+1)=f(x0)+f
(1)和f(x)=2x+x2∈M,整理出关于x0的式子,利用y=2x图象与函数y=-x的图象有交点,即对应方程有根,与求出的式子进行比较和证明.【详解】
(1)若f(x)=∈M,在定义域内存在x0,则+1=0,∵方程x02+x0+1=0无解,∴f(x)=∉M;
(2)由题意得,f(x)=lg∈M,∴lg+2ax+2(a﹣1)=0,当a=2时,x=﹣;当a≠2时,显然a0又由△≥0,得a2﹣6a+4≤0,a∈.综上,所求的;
(3)∵函数f(x)=2x+x2∈M,∴﹣3=,∵函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点,设交点的横坐标为a,则,其中x0=a+1∴f(x0+1)=f(x0)+f
(1),即f(x)=2x+x2∈M.【点睛】本题的考点是元素与集合的关系,此题的集合中的元素是集合,主要利用了元素满足的恒等式进行求解,根据对数和指数的元素性质进行化简,考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.。