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2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
一、填空题本大题共14个小题每小题5分共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,则__________.【答案】【解析】已知集合,集合,则即答案为
2.已知集合,集合,则__________.【答案】【解析】已知集合,集合,则即答案为
3.已知幂函数的图像过点,则__________.【答案】2【解析】设函数的解析式为,由题意可得,函数的解析式为,据此可知.点睛1幂函数解析式一定要设为y=xαα为常数的形式;2可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;3在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
4.已知函数,那么__________.【答案】3【解析】根据函数的解析式可得即答案为
35.函数,的值域为__________.【答案】【解析】函数在上为增函数,∴当时,,当时,.∴函数,的值域为.
6.计算__________.【答案】【解析】即答案为
7.已知函数在实数集上是奇函数,且当时,,则__________.【答案】1【解析】根据题意知函数在实数集上是奇函数,则∵当当时,. ∵函数在实数集上是奇函数,,.即答案为
18.设,,,则的大小关系为__________.(用“”连接)【答案】【解析】故
9.函数的定义域为__________.【答案】【解析】由题意得,所以函数的定义域为.
10.将函数的图像先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,得到函数的图像,则函数的零点为__________.【答案】【解析】将函数的图像先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,得到函数令,得到其零点为即答案为
11.已知定义在实数集上的奇函数在区间上是单调增函数,且,若,则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】∵定义在实数集上的奇函数在区间上是单调增函数,且,则的图象过点,∴函数在区间上是单调增函数,且的图象过点,则的解为或,即不等式的解集为,故答案为【点睛】本题主要考查不等式的求解,灵活应用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键.
13.如图,已知正方形的边长为6,平行于轴,顶点和分别在函数,和的图像上,则实数的值为__________.【答案】【解析】由于顶点,和分别在函数,和的图象上,设,由于平行于轴,则,有,解得,又,则.【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上,且平行于轴,则轴,因此可以巧设出三点的坐标,利用两点纵坐标相等,横坐标之差的绝对值为边长2,以及两点横坐标相等,纵坐标之差的绝对值为边长2,解答出本题.
14.已知函数,函数,若函数有四个零点,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】作出f(x)的函数图象如图所示令则,由图象可知当时,有两解,当时只有一解,有四个零点,在上有二解,∴,解得.故答案为
二、解答题(共6小题,满分90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若,求实数的取值范围.【答案】
(1);
(2)【解析】试题分析
(1)时,可以求出集合,然后进行并集及补集的运算即可;
(2)根据可得出,解该不等式组即可得出实数的取值范围.试题解析
(1)当时,集合,因为集合,所以,从而.
(2)因为集合,且,所以,解之得,即实数的取值范围是.
16.已知函数,的值域为,函数.
(1)求集合;
(2)求函数,的值域.【答案】
(1);
(2)【解析】试题分析
(1)由题函数的值域为,所以,解之即可得到函数的定义域
(2)令,因为,可得,所以函数,可以化为(),求此二次函数在山过的最值即可试题解析
(1)因为函数的值域为,所以,所以,即函数的定义域.
(2)令,因为,所以,即,所以函数,可以化为(),所以,,即函数,值域为.
17.已知函数,.
(1)若函数是偶函数,求实数的值;
(2)若函数的两个零点为,且,求实数的取值范围.【答案】
(1);
(2)【解析】试题分析
(1)根据函数是偶函数,所以,代入函数数解析式利用恒等式可求得实数的值
(2)由题意得,即,解之可得实数的取值范围试题解析
(1)因为函数是偶函数,所以,所以,整理得,所以,,即所求的实数的值为.
(2)由题意得,即,解之得,则,即所求的实数的取值范围.
18.经市场调查,某商品在过去的20天内的价格(单位元)与销售量(单位件)均为时间(单位天)的函数,且价格满足,销售量满足,其中,.
(1)请写出该商品的日销售额(单位元)与时间(单位天)的函数解析式;
(2)求该商品的日销售额的最小值.【答案】
(1);
(2)在第20天,日销售额取最小值600元【解析】试题分析
(1)日销售额=销售量×价格,根据条件写出函数解析式即可;注意函数的定义域;
(2)将
(1)得到的解析式写成分段函数的形式,分别求出函数在各段的最小值,取其中最小者为最小值.试题解析
(1),.
(2)当,时,,其对称轴,当时,取最小值且;当,时,,其对称轴,所以当时,取最小值且综上所述,在第20天,日销售额取最小值600元.答在第20天,日销售额取最小值600元.【点睛】本题考查函数在实际问题中的应用,考查分段函数最值的求法,其中在求函数解析式时一定要注意其定义域,求分段函数在各段的最小值,取其中最小者为最小值.
19.已知函数,.
(1)求证函数在上是单调增函数;
(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(3)若方程有实数解,求实数的取值范围.【答案】
(1)见解析;
(2)偶函数;
(3)【解析】试题分析
(1)任取,且,利用函数单调性的定义即可证明函数在上是单调增函数;
(2)函数的定义域为,验证即可证明函数为偶函数;
(3)由题意得可证,则方程有实数解,即,即,可得实数的取值范围试题解析
(1)任取,且,因为,所以因为,且,所以,,,从而,即,所以函数在上是增函数
(2)函数为偶函数,函数的定义域为,对于任意的,,所以函数为偶函数.
(3)由题意得,即.
20.已知函数,函数.
(1)若函数,的最小值为-16,求实数的值;
(2)若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,不等式的解集为,求实数的取值范围.【答案】
(1)8或-32;
(2)或;
(3)【解析】试题分析
(1)设,由,可得,化简得,,根据对称轴与的关系,求出函数的最小值可得实数的值;
(2)由函数的图象知函数的减区间为,,则或;由此可得实数的取值范围;
(3)不等式可以化为,即,则问题转化为当时,不等式的解集为,令(),讨论函数的单调性和最小值,即可求实数的取值范围.试题解析
(1)设,又,则,化简得,,对称轴方程为,当,即时,有,解得或;当,即时,有,解得(舍);所以实数的值为8或-32;
(2)由函数的图象知函数的减区间为,,或,则或;则实数的取值范围为或
(3)不等式可以化为,即,因为当时,不等式的解集为,所以当时,不等式的解集为,令(),则函数在区间上单调增函数,在上单调减函数,所以,所以,从而,即所求实数的取值范围.。