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2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)I
一、选择题(每小题只有一个选项正确,每小题5分,共60分)
1.下列说法正确的是()A.若,则B.若C.若D.若【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断每一个选项的真假.【详解】对于选项A举例a=-2b=1但是,所以该选项错误;对于选项B举例a=-2,c=-1b=-1满足,但是a<b所以该选项错误;对于选项C举例a=-1b=0k=3显然,所以该选项错误;对于选项D由题得所以.所以该选项正确.故答案为D【点睛】1本题主要考查不等式的性质,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2做类似的题目,可以利用不等式的性质证明,也可以举反例.
2.等差数列的前n项和为,若()A.11B.9C.13D.15【答案】C【解析】【分析】先根据已知计算出,再利用等差数列的通项求.【详解】由题得.故答案为C【点睛】1本题主要考查等差数列的前n项和,考查等差数列的通项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.2等差数列的前项和公式一般已知时,用公式,已知时,用公式
(1)本题主要考查棱锥体积的计算,意在考查学生对该知识的掌握水平.2求边和角,一般要解三角形.
4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若则A=( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可得解.【详解】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∵b+a(sinC﹣cosC)=0,可得sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA=﹣sinA,∴tanA=﹣1,∵<A<π,∴A=.故答案为C【点睛】本题主要考查正弦定理和和角的正弦公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.
5.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的侧面积是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出圆柱的底面圆的半径,再求圆柱的侧面积.【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为,所以圆柱的侧面积为.故答案为C【点睛】
(1)本题主要考查球的内接圆柱问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力.2本题解题的关键是求出圆柱的底面圆的半径.
6.设x,y满足约束条件,则的最小值是( )A.-15B.-9C.9D.1【答案】D【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域,再通过数形结合分析得到的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如下图所示,因为z=2x+y所以y=-2x+z当直线经过点A时,直线的纵截距z最小,解方程组得A01所以z最小=2×0+1=1,故答案为D【点睛】1本题主要考查线性规划,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.2解答线性规划时,要加强理解,不是纵截距最小,就最小,要看函数的解析式,如直线的纵截距为所以纵截距最小时,最大.
7.一个直角梯形的一个底角为,下底长为上底长的倍,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的旋转体体积为,则该直角梯形的上底长为( )A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知,这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积.再根据题目中的条件求解即可.【详解】如图,梯形ABCD,AB∥CD,∠A=90°,∠B=45°,绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体.设CD=x,AB=,AD=x.∴旋转体体积V=S圆柱+S圆锥=.故答案为A【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥体积,考查组合体的体积,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.
8.已知等比数列的各项都为正数,且为与的等差中项,则()A.14B.18C.16D.20【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的定义求出a6的值,结合对数的运算法则以及等比数列的运算性质进行化简即可.【详解】∵为与的等差中项∴2a6=+=8,即a6=4,在正项等比数列中,log2a2+log2a3+…log2a10=log2(a2•a3…a9•a10)=log2(a6)9=9log24=9×2=18,故答案为B【点睛】
(1)本题主要考查等差中项,考查等比数列的性质和对数的运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.2等比数列中,如果则特殊地,时,则,是的等比中项.
9.已知函数的图像恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值是()A.9B.4C.D.8【答案】C【解析】【分析】先求出定点A的坐标,再代入直线的方程得到m+n=2再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得A-2-2所以-2m-2n+4=0所以m+n=2所以=.当且仅当时取到最小值.故答案为C【点睛】1本题主要考查对数函数的定点问题,考查基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.2本题的解题关键是常量代换,即把化成,再利用基本不等式求函数的最小值.利用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”,三个条件缺一不可.
10.不等式的解集为(-41),则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式ax2+bx+c>0的解集求得a、b、c的关系,代入不等式b(x2+1)﹣a(x+3)+c>0中,化简并求出该不等式的解集可得答案.【详解】不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣4,1),则不等式对应方程的实数根为﹣4和1,且a<0;由根与系数的关系知,,∴,∴不等式b(x2+1)﹣a(x+3)+c>0化为3a(x2+1)﹣a(x+3)﹣4a>0,即3(x2+1)﹣(x+3)﹣4<0,解得﹣1<x<,∴该不等式的解集为(﹣1,).故答案为B【点睛】
(1)本题主要考查含参的一元二次不等式的解法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.2解题的关键是由根与系数的关系知,得到.
11.在锐角中,A、B、C分别为三边abc所对的角若,且,则a+c的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由,推导出B=60°,由推导出b=由此能求出a+c的取值范围.【详解】∵在锐角△ABC中,A、B、C分别为△ABC三边a,b,c所对的角∴2sin(B+30°)=2,∴B=60°,∴2sin2B+2sinBcosB=3,∵,∴解得b=,∴a+c>.由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB即()2=a2+c2﹣2bccos60°即3=(a+c)2﹣2ac﹣2ac,即3=(a+c)2﹣3ac即3ac=(a+c)2﹣3,即[(a+c)2﹣3]=3ac≤3[(a+c)]2令t=a+c即t2﹣3=3ac≤3()2,整理得t2≤12即t的最大值2即a+c的最大值为2,综上,a+c的取值范围是.故答案为D【点睛】
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.2使用基本不等式求最值时,要注意观察收集题目中的数学信息(正数、定值等),然后变形,配凑出基本不等式的条件.
12.定义为n个正数的“均倒数”若已知数列的前n项均倒数为,又,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知得,可得a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,利用n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得an,可得=2n,.利用裂项求和方法即可得出.【详解】由已知得,∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,验证知当n=1时也成立,∴an=4n﹣1,∴=2n,∴.∴.故答案为B【点睛】1本题主要考查新定义,考查项和公式和裂项相消求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.2类似(其中是各项不为零的等差数列,为常数)的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.函数的最小值为______【答案】1【解析】【分析】先把函数变形,再利用基本不等式求函数的最小值.【详解】由题得,因为x-1所以x+10所以,当x=0时取到最小值
1.故答案为1【点睛】
(1)本题主要考查基本不等式,意在考查学生对该知识的掌握水平和基本计算能力.2使用基本不等式求最值时,要注意观察收集题目中的数学信息(正数、定值等),然后变形,配凑出基本不等式的条件.
14.如图为某几何体的三视图,则其体积为______【答案】3【解析】【分析】判断三视图对应的几何体的形状.利用三视图的数据求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知几何体是以侧视图为底面的三棱柱,三角形是底边长为2,高为1的等腰三角形,棱柱的高为3,所以几何体的体积为.故答案为3【点睛】1本题主要考查三视图和几何体体积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.2通过三视图找几何体原图的方法有三种直接法、拼凑法和模型法.
15.下列说法正确的是___________用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆;圆台的任意两条母线延长后一定交于一点;有一个面为多边形,其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥;若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥不可能是正六棱锥;用斜二测画法作出正三角形的直观图,则该直观图面积为原三角形面积的一半.【答案】
②④【解析】【分析】利用对应的知识逐一判断每一个命题的真假.【详解】用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆或者一个点,所以该命题是假命题;圆台的任意两条母线延长后一定交于一点,是真命题;有一个面为多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,只有当侧棱相交于一点时,才是棱锥,所以该命题是假命题;若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥不可能是正六棱锥是真命题,因为当棱锥是正六棱锥时,顶角的和为,所以不可能;用斜二测画法作出正三角形的直观图,则该直观图面积为原三角形面积的,所以该命题是假命题.故答案为
②④【点睛】本题主要考查空间几何体和斜二测画法,意在考查学生对这些知识的掌握水平.
16.已知数列中,为数列的前n项和,且当时,有成立,则_________【答案】【解析】【分析】运用数列的递推式当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,代入化简,得,运用等差数列的定义和通项公式,计算可得所求值.【详解】当n≥2时,有成立,即有2an=anSn﹣Sn2,即为2Sn﹣2Sn﹣1=(Sn﹣Sn﹣1)Sn﹣Sn2,化为2Sn﹣2Sn﹣1=﹣Sn﹣1Sn,可得,即{}为首项为1,公差为的等差数列,可得=1+(n﹣1)=,即Sn=,Sxx=,故答案为【点睛】1本题主要考查等差数列的通项和前n项和,考查递推数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2解答本题的关键是得,再构造等差数列.
三、解答题(共70分)
17.如图,在四边形ABCD中,AC平分角DAB,,AC=7,AD=6,
(1)求BC;
(2)求.【答案】
(1)
(2)【解析】【分析】1先求得,再利用正弦定理求BC=
5.
(2)先求得,再求△ABC的面积.【详解】解
(1)由已知,所以,在中,由正弦定理,,得.
(2)因为,所以所以,所以【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形,考查差角的正弦公式和三角形的面积公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18.设函数.
(1)若对于一切实数x,恒成立,求m的取值范围;
(2)对于恒成立,求m的取值范围.【答案】
(1)
(2)【解析】【分析】1对m分类讨论结合二次函数的图像和性质得到关于m的不等式,求得m的取值范围.2先转化为对于恒成立,再求的最小值即得m的取值范围.【详解】
(1)若m=o,显然成立;若,所以
(2)要使在恒成立只需满足在恒成立;因为,所以对于恒成立;设,则;因为,所以,所以【点睛】1本题主要考查二次函数的图像和性质,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.2解法本题的关键有两点,其一是转化为对于恒成立,其二是求函数gx的最小值.
19.已知数列是等差数列,且.1求数列的通项公式;2若求数列的前项和.【答案】
(1)
(2)【解析】【分析】1先根据已知求得,再求得即得.2利用错位相减法求数列的前项和.【详解】
(1)设,由已知得所以,所以.
(2),所以,,错位相减得;,所以.【点睛】
(1)本题主要考查数列通项的求法,考查错位相减求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.2若数列,其中是等差数列,是等比数列,则采用错位相减法.
20.已知A、B、C分别为三边abc所对的角,且
(1)求角A;
(2)若,求BC边上中线AM的最大值【答案】
(1)
(2)【解析】【分析】1先利用余弦定理正弦定理化简得,即得A的值.2先求得,再利用基本不等式求BC边上中线AM的最大值.【详解】
(1)由已知,,则所以,由正弦定理,,所以,所以,因为,所以
(2)因为AM为BC边上中线,所以在中,;在中,
②;因为,所以
①②相加,得;因为,所以所以,所以【点睛】1本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2第2问解题关键是利用余弦定理求得.
21.已知向量,若,且A、B、C分别为三边abc所对的角.1求tanB的值;2若sinA,sinB,sinC成等比数列,且求的周长.【答案】
(1)
(2)【解析】【分析】1先化简求得,即得.2先化简得ac=24再根据sinA,sinB,sinC成等比数列求得b=再利用余弦定理求a+c=10即得周长的值.【详解】
(1)由,所以,
(2),所以因为成等差数列,所以,由余弦定理,,即,所所以周长为【点睛】1本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查向量的数量积和和角的正弦,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化的能力.2本题利用的是整体求法,分开求ac计算量较大.
22.已知数列,,二次函数的对称轴为.1证明数列是等差数列,并求的通项公式;
(2)设,求证.【答案】
(1)
(2)见解析【解析】【分析】1先由题得,再利用等差数列的定义证明数列是等差数列,并求的通项公式.2,先证明.因为,再证明.【详解】由已知得,整理得,左右同时乘以得,,所以是以2为首项,2为公差的等差数列,所以.
(2),,k=12…n;所以又因为,k=12…n;所以;所以【点睛】1本题主要考查数列性质的证明和通项的求法,考查放缩法证明数列不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2解答第2问的关键有两点,其一是证明,其二是证明.。