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2019-2020学年高三数学上学期入学考试试题
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.计算(i为虚数单位)等于()A.1﹣iB.﹣1﹣iC.﹣1+iD.1+i2.若平面向量=(1,2),=(﹣2,y)且,则,则||=()A.B.C.2D.53.设a,b为实数,命题甲a<b<0,命题乙ab>b2,则命题甲是命题乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如图所示,该四棱锥侧面积等于()A.20B.5C.4(+1)D.45.已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是()A.B.C.D.6.阅读程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中填入的语句为()A.S=2*i+4B.S=2*i﹣1C.S=2*i﹣2D.S=2*i7.(x2+2)(﹣1)5的展开式的常数项是()A.2B.3C.﹣2D.﹣38.某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作,每个地段至少有1名学生的分配方案共有()A.60种B.90种C.150种D.240种9.把函数y=cos(﹣2x)的图象向右平移,得到函数f(x)的图象,则函数f(x)为()A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数10.设点P在曲线y=x2上,点Q在直线y=2x﹣2上,则PQ的最小值为()A.B.C.D.11.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点F(﹣c,0)(c>0)作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为线段PF的中点,则双曲线的离心率等于()A.B.C.D.12.若存在x0∈N+,n∈N+,使f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63成立,则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.已知函数f(x)=2x+1,x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g(x)=ax2+bx+c,则使函数y=g(x)与x轴无交点的a的取值范围是()A.0<α<B.<α<C.α<D.0<α<或α>题号123456789101112答案
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,满分20分13.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2f
(2)=_____________.14.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A和B的距离为_____________海里.15.设O为坐标原点,点,若M(x,y)满足不等式组,则的最小值是_____________.16.已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+,若对任意的自然数n≥4,恒有<an<2,则a的取值范围为_____________.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0},集合B={x|2x2﹣9x+k≤0}.(Ⅰ)求集合A;(Ⅱ)若B⊆A,求实数k的取值范围.18.(12分)函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<)的部分图象如图所示.(Ⅰ)写出φ及图中x0的值;(Ⅱ)设g(x)=f(x)+f(x+),求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一点.(Ⅰ)求证AC⊥DE;(Ⅱ)已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值.20.(12分)已知定义x∈[﹣1,1]在偶函数f(x)满足当x∈[0,1]时,f(x)=x+2,函数g(x)=ax+5﹣2a(a>0),
(1)求函数f(x)在x∈[﹣1,1]上的解析式
(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有g(x2)>f(x1)成立,求实数a的取值范围.
21.(12分)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下
(1)投资股市投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率
(2)购买基金投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率pq(Ⅰ)当时,求q的值;(Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求p的取值范围;(Ⅲ)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知,,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?给出结果并说明理由.22.(12分)已知函数f(x)=x+xlnx,h(x)=x﹣lnx﹣2(Ⅰ)试判断方程h(x)=0在区间(1,+∞)上根的情况(Ⅱ)若k∈Z,且f(x)>kx﹣k对任意x>1恒成立,求k的最大值(Ⅲ)记a1+a2+…+an=,若ai=2ln2+3ln3+…+klnk(k>3,k∈N*),证明<1(n>k,n∈N*)内江铁路中学高三上入学考试数学参考答案
一、选择题CBADADBCADCB
二、填空题13.14.a15.16.(0,+∞)
三、解答题(本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.解
(1)∵x2﹣5x+4≤0,∴1≤x≤4,∴A=[1,4];(3分)
(2)当B=∅时,△=81﹣8k<0,求得k>.(6分)∴当B≠∅时,有2x2﹣9x+k=0的两根均在[1,4]内,设f(x)=2x2﹣9x+k,则解得7≤k≤.(9分)综上,k的范围为[7,+∞).(10分)18.解(Ⅰ)∵=cos(0+φ)∴φ的值是.∵=cos(πx0+)∴2π﹣=πx0+,可得x0的值是.…(5分)(Ⅱ)由题得===因为,所以.所以当,即时,g(x)取得最大值;当,即时,g(x)取得最小值.…(12分)19.(I)证明∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD∴PD⊥AC又∵ABCD是菱形,∴BD⊥AC,BD∩PD=D∴AC⊥平面PBD,∵DE⊂平面PBD∴AC⊥DE…(6分)(II)解分别以OA,OB,OE方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设PD=t,则由(I)知平面PBD的法向量为,令平面PAB的法向量为,则根据得∴因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为,则,即,∴…(9分)∴∵,∴…(12分)20.解
(1)设x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],结合函数f(x)是[﹣1,1]上的偶函数,所以f(x)=f(﹣x)=﹣x+,所以.
(2)对任意的x1,x2∈[﹣1,1],都有g(x2)>f(x1)成立,则只需g(x)min≥f(x)max,又因为y=f(x),x∈[﹣1,1]是偶函数,所以f(x)的值域就是f(x)在[0,1]值域.而当x∈[0,1]时,f(x)=x+2,令t=,原函数化为y=﹣t2+2t+2=﹣(t﹣1)2+3,t∈[1,],显然t=1时f(x)max=3,又因为g(x)min=﹣3a+5,则由题意得,解得0即为所求.
21.(Ⅰ)解因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,所以p++q=1.又因为,所以q=.…(3分)(Ⅱ)解记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则,且A,B独立.由上表可知,,P(B)=p.所以==.因为,所以.又因为,q≥0,所以.所以.…(8分)(Ⅲ)解假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记X为丙投资股票的获利金额(单位万元),所以随机变量X的分布列为X40﹣2P则.…10分假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记Y为丙购买基金的获利金额(单位万元),所以随机变量Y的分布列为Y20﹣1P则.因为EX>EY,所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.…(12分)22.解
(1)由题意h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),则h(x)=1﹣所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增因为h
(3)=1﹣ln3<0,h
(4)=2﹣2ln2>0,所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4);(4分)
(2)因为f(x)=x+xlnx,可知k<对任意x>1恒成立,即k<对任意x>1恒成立令g(x)=,求导g(x)=由
(1)知,h(x)=x﹣lnx﹣2,h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4)当1<x<x0时,h(x)<0,即g(x)<0当x>x0时,h(x)>0,即g(x)>0所以函数g(x)=在(1,x0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.因之,min=g(x0)=,从而k<min=x0∈(3,4),故整数的最大值为3;(8分)
(3)证明由
(2)可知,xlnx>2x﹣3(x>1),取x=k(k≥2,k∈N*),则有2ln2>2×2﹣3,3ln3>2×3﹣3,…,klnk>2k﹣3,将上式各式子相加得2ln2+3ln3+…+klnk>2(2+3+4+…+k)﹣3(k﹣1)=k2﹣2k+1=(k﹣1)2,即,可得,,从而有==.(12分)。