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2.3 幂函数课后篇巩固提升基础巩固
1.函数y=3xα-2的图象过定点 A.11B.-11C.1-1D.-1-1答案A
2.在下列幂函数中既是奇函数又在区间0+∞上是增函数的是 A.fx=x-1B.fx=x-2C.fx=x3D.fx=答案C
3.下列结论中正确的是 A.幂函数的图象都过点0011B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取13时幂函数y=xα都是增函数D.当幂指数α=-1时幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数答案C
4.已知当x∈1+∞时函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方则α的取值范围是 A.0α1B.α0C.α1D.α1解析由幂函数的图象特征知α
1.答案C
5.已知a=
1.b=
0.c=则 A.cbaB.cabC.bacD.acb解析b=
0.c==
1.∵0且
1.
21.1∴
1.
1.即abc.答案A
6.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象则 A.-1n0m1B.n-10m1C.-1n0m1D.n-1m1解析由于y=xm在0+∞上单调递增且为上凸函数故0m
1.由于y=xn在0+∞上单调递减且在直线x=1的右侧时y=xn的图象在y=x-1的图象的下方故n-
1.故选B.答案B
7.若a+13-2a则a的取值范围是 . 解析因为函数fx=的定义域为R且为单调递增函数所以由不等式可得a+13-2a解得a.答案
8.已知幂函数fx=m∈Z的图象关于y轴对称并且fx在第一象限内是单调递减函数则m= . 解析因为幂函数fx=m∈Z的图象关于y轴对称所以函数fx是偶函数所以m2-2m-3为偶数所以m2-2m为奇数.又因为fx在第一象限内是单调递减函数故m=
1.答案
19.为了保证信息的安全传输有一种密钥密码系统其加密、解密原理为:发送方由明文到密文加密接收方由密文到明文解密.现在加密密钥为y=xαα为常数如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”则解密后得到的明文是 . 解析由题目可知加密密钥y=xαα是常数是一个幂函数模型所以要想求得解密后得到的明文就必须先求出α的值.由题意得2=4α解得α=则y=.由=3得x=9即明文是
9.答案
910.已知函数y=a2-3a+2a为常数问:1当a为何值时此函数为幂函数2当a为何值时此函数为正比例函数3当a为何值时此函数为反比例函数分析根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解.解1由题意知a2-3a+2=1即a2-3a+1=0解得a=.2由题意知解得a=
4.3由题意知解得a=
3.
11.已知幂函数fx=2m2-6m+5xm+1为偶函数.1求fx的解析式;2若函数y=fx-2a-1x+1在区间23上为单调函数求实数a的取值范围.解1由fx为幂函数知2m2-6m+5=1即m2-3m+2=0得m=1或m=2当m=1时fx=x2是偶函数符合题意;当m=2时fx=x3为奇函数不合题意舍去.故fx=x
2.2由1得y=x2-2a-1x+1函数的对称轴为x=a-1由题意知函数在23上为单调函数∴a-1≤2或a-1≥3相应解得a≤3或a≥
4.能力提升
1.已知幂函数gx=2a-1xa+2的图象过函数fx=32x+b的图象所经过的定点则b的值等于 A.-2B.1C.2D.4解析易知函数gx=2a-1xa+2为幂函数则2a-1=1∴a=1函数的解析式为gx=x3幂函数过定点11在函数fx=32x+b中当2x+b=0时函数过定点据此可得-=1故b=-
2.故选A.答案A
2.函数fx=m2-m-1是幂函数对任意x1x2∈0+∞且x1≠x2满足0若ab∈R且a+b0ab0则fa+fb的值 A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断解析由已知函数fx=m2-m-1是幂函数可得m2-m-1=1解得m=2或m=-1当m=2时fx=x3当m=-1时fx=x-3对任意的x1x2∈0+∞且x1≠x2满足0函数是单调增函数所以m=2此时fx=x
3.又a+b0ab0可知ab异号且正数的绝对值大于负数的绝对值则fa+fb恒大于0故选A.答案A
3.已知幂函数fx=mxn的图象过点2设a=fmb=fnc=fln2则 A.cbaB.cabC.bcaD.abc解析幂函数fx=mxn的图象过点2则所以幂函数的解析式为fx=x3且函数fx为单调递增函数.又ln213所以fln2f1f3即cab故选B.答案B
4.给出幂函数:
①fx=x;
②fx=x2;
③fx=x3;
④fx=;
⑤fx=.其中满足条件fx2x10的函数的个数是 A.1B.2C.3D.4解析如图只有上凸的函数才满足题中条件所以只有
④满足其他四个都不满足故选A.答案A
5.若幂函数y=mn∈N*且mn互质的图象如图所示则下列说法中正确的是 .
①mn是奇数且1;
②m是偶数n是奇数且1;
③m是偶数n是奇数且1;
④mn是偶数且
1.解析由题图知函数y=为偶函数m为偶数n为奇数又在第一象限向上“凸”所以1选
③.答案
③
6.幂函数fx=m2-3m+3·在区间0+∞上是增函数则实数m= . 解析由fx=m2-3m+3是幂函数得m2-3m+3=1解得m=2或m=
1.当m=2时fx=x是增函数;当m=1时fx=1是常函数.答案
27.已知函数fx=若关于x的方程fx=k有两个不同的实根则实数k的取值范围是 . 解析作出函数图象如图所示则当0k1时关于x的方程fx=k有两个不同的实根.答案
018.已知幂函数fx=m-12在0+∞上单调递增函数gx=2x-k.1求实数m的值;2当x∈12]时记ƒxgx的值域分别为集合AB若A∪B=A求实数k的取值范围.解1依题意得m-12=
1.∴m=0或m=
2.当m=2时fx=x-2在0+∞上单调递减与题设矛盾舍去.∴m=
0.2由1可知fx=x2当x∈12]时函数fx和gx均单调递增.∴集合A=14]B=2-k4-k].∵A∪B=A∴B⊆A.∴∴0≤k≤
1.∴实数k的取值范围是
[01].
9.已知幂函数fx=x2-k1+kk∈Z且fx在0+∞上单调递增.1求实数k的值并写出相应的函数fx的解析式.2若Fx=2fx-4x+3在区间[2aa+1]上不单调求实数a的取值范围.3试判断是否存在正数q使函数gx=1-qfx+2q-1x在区间[-12]上的值域为若存在求出q的值;若不存在请说明理由.解1由题意知2-k1+k0解得-1k
2.又k∈Z∴k=0或k=1分别代入原函数得fx=x
2.2由已知得Fx=2x2-4x+
3.要使函数在区间[2aa+1]上不单调则2a1a+1则0a.3由已知gx=-qx2+2q-1x+
1.假设存在这样的正数q符合题意则函数gx的图象是开口向下的抛物线其对称轴为x==1-1因而函数gx在[-12]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得又g2=-1≠-4从而必有g-1=2-3q=-4解得q=
2.此时gx=-2x2+3x+1其对称轴x=∈[-12]∴gx在[-12]上的最大值为g=-2×+3×+1=符合题意.∴存在q=2使函数gx=1-qfx+2q-1x在区间[-12]上的值域为.。