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2019-2020学年高二数学12月月考试题理IV
一、选择题本大题共12小题每小题5分共60分.
1.“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2.曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.
3.已知为等比数列,且,,则()A.B.C.4D.
4.双曲线的一个焦点到渐近线的距离为()A.1B.2C.D.
5.在正方体中分别是和的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A.0B.C.D.
6.已知,则的最小值()A.B.C.D.
7.在中,三内角所对边的长分别为,已知,,,则()A.B.C.或D.或
8.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“,则”的逆否命题是真命题B.命题“,均有”的否定为“,使得”C.命题“”的否定是“”D.命题“若,则”的否命题为“若,则”
9.函数,是的导函数,则的图象大致是()ABCD
10.已知等差数列的前项和为,,,则数列的前项和为()A.B.C.D.11如图,在三棱锥O-ABC中,点D是棱AC的中点,若,,,则等于A.B.C.D.
12.设是函数的导函数,,若对任意的,,则的解集为()A.-11B.-1+∞C.-∞-1D.-∞1第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若满足约束条件,则的最大值为.
14.已知抛物线,过其焦点的直线交抛物线于两点,若,的中点的横坐标为2,则此抛物线的方程为.
15.若在-1+∞上是减函数,则b的取值范围是.
16.如图,已知二面角的大小为60°,其棱上有,两点,直线,分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,,则线段的长为.
三、解答题本大题共6小题,17题10分,其余5题每题12分,共70分.
17.在锐角中,内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求的值和的面积.
18.设数列满足,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
19.如图,在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.1若m=1,求异面直线AP与BD1所成角的余弦值;2是否存在实数m,使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
20.如图,在四棱锥中,平面,且,,,且,.(Ⅰ)求证平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
21.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)求在区间
[01]上的最小值.
22.已知椭圆经过点,离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)直线与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,且,求直线的方程.试卷答案
一、选择题1-5:ABCBD6-10:CCBAC
11、12BB
二、填空题
13.
214.
15.-∞-1]
16.
三、解答题
17.解(Ⅰ)由,由正弦定理,得,则.∵,,∴,∴,,∵,∴.(Ⅱ)由,得.根据余弦定理,得,∴.∴.
18.解
(1)因为,
①当时,
②①②得,,所以当时,适合上式,所以()
(2)由
(1)得所以所以
③④③④得所以
19.1建立如图所示的空间直角坐标系,则A1,0,0,B1,1,0,P0,1,m,C0,1,0,D0,0,0,B11,1,2,D10,0,2.所以=-1,-1,2,=-1,1,1.,即异面直线AP与BD1所成角的余弦是.2假设存在实数m,使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于,则=1,1,0,=-1,0,2,=-1,1,m.设平面AB1D1的法向量为n=x,y,z,则由得取x=2,得平面AB1D1的法向量为n=2,-2,1.由直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于,得,解得m=.因为0≤m≤2,所以m=满足条件,所以当m=时,直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于.
20.(Ⅰ)证明∵平面,∴.又,,∴.故平面.又平面,∴平面平面.(Ⅱ)解由(Ⅰ)知,,设的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,过点作的平行线为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.不防设,又∵,,,∴.连接,又,∴∴,∴平面.∴,,,.设为平面的法向量,则,即,可取.∵为平面的法向量,∴.又二面角的平面角为钝角,∴二面角的余弦值为.
21.解
(1)令,得,,随的变化情况如下0∴的单调递减区间是,的单调递增区间;
(2)当,即时,函数在区间上单调递增,∴在区间上的最小值为;当,即时,由
(1)知,在区间上单调递减,在区间上单调递增,∴在区间上的最小值为当,即时,函数在区间上单调递减,∴在区间上的最小值为;综上所述
22.解(Ⅰ)由题意得,解得.故椭圆的方程是.(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,联立,消去,得.则有,..设的中点为,则,.∵直线与直线垂直,∴,整理得.∴.又∵,∴,解得或.∵与矛盾,∴.∵,∴.故直线的方程为或.。