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2019-2020学年高二数学上学期12月月考试题文
一、单选题(各5分,共60分)
1.已知命题p“a>b”是“>”的充要条件;q x∈R,<0,则A.¬p∨q为真命题B.p∧¬q为假命题C.p∧q为真命题D.p∨q为真命题
2.读右侧程序框图,该程序运行后输出的A值为A.B.C.D.
3.已知x,y的取值如下表从散点图可以看出y与x线性相关,且回归方程为,则 x0134y
2.
24.
34.
86.7 A.
3.25 B.
2.6 C.
2.2 D.
04.有5支彩笔除颜色外无差别,颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A.B.C.D.
5.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,则( )A.B.C.D.
6.若双曲线的一条渐近线经过点3,﹣4,则此双曲线的离心率为 A.B.C.D.
7.记集和集表示的平面区域分别为.若在区域内任取一点,则点落在区域的概率为 A.B.C.D.
8.曲线x>0上一动点Px0,fx0处的切线斜率的最小值为A.B.3C.2D.
69.双曲线C a>0,b>0的左焦点为F1,过右顶点作x轴的垂线分別交两渐近线于A,B两点,若△ABF1为等边三角形,则C的离心率是A.B.C.2D.
10.设函数fx=x3+a-1x2+ax.若fx为奇函数,则曲线y=fx在点0,0处的切线方程为A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
11.已知函数fx=ax3-3x2+1,若fx存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是A.2,+∞B.-∞,-2C.1,+∞D.-∞,-
112.函数fx=﹣3x﹣1,若对于区间[﹣3,2]上的任意x1,x2都有|fx1﹣fx2|≤t,则实数t的最小值是A.20B.18C.3D.0
二、填空题
13.“x<0”是“x<a”的充分非必要条件,则a的取值范围是___________.
14.已知命题p x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是___________.
15.已知直线l过点1,0且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为___________.
16.已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P1,1为中点,则弦AB所在直线方程是___________.
三、解答题
17.已知时的极值为0.
(1)求常数a,b的值;
(2)求的单调区间.
18.已知函数,
(1)若函数在处的切线方程为,求实数,的值;
(2)若在其定义域内单调递增,求的取值范围.
19.已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(-1,)处的切线方程
(1)求函数的解析式;
(2)
(2)求函数与的图像有三个交点,求的取值范围
20.已知函数其中为自然对数的底数
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若函数为单调函数,求实数的取值范围;
(3)若时,求函数的极小值
21.设命题函数在区间上单调递减;命题函数的最小值不大于0.如果命题为真命题,为假命题,求实数的取值范围.
22.已知椭圆E a>b>0的离心率e=,焦距为.Ⅰ求椭圆E的方程;Ⅱ若C,D分别是椭圆E的左、右顶点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆E于点P.证明为定值O为坐标原点.答案与解析
1.【答案】D
2.【答案】C【解析】略
3.【答案】B【解析】略
4.【答案】C【解析】有5支彩笔除颜色外无差别,颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,基本事件总数n==10,取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4,∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为.
5.【答案】C【解析】略
6.【答案】D【解析】双曲线﹣=1的一条渐近线经过点3,﹣4,可得3b=4a,即9c2﹣a2=16a2,解得=.
7.【答案】A.【解析】略
8.【答案】C【解析】先求出曲线对应函数的导数,由基本不等式求出导数的最小值,即得到曲线斜率的最小值.x>0的导数,∴在该曲线上点x0,fx0处切线斜率,由函数的定义域知x0>0,∴,当且仅当,即时,等号成立.∴k的最小值为
2.
9.【答案】C【解析】求出AB,利用三角形ABF1为等边三角形,列出方程,即可求解C的离心率.双曲线C a>0,b>0的左焦点为F1,过右顶点作x轴的垂线分別交两渐近线于A,B两点,可得|AB|=2b,若△ABF1为等边三角形,可得a+c=b,所以a+c2=3c2-3a2,可得e2-e-2=0,解得e=
2.e=-1舍去.
10.【答案】D【解析】利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数,求出切线的向量然后求解切线方程.函数fx=x3+a-1x2+ax,若fx为奇函数,可得a=1,所以函数fx=x3+x,可得f′x=3x2+1,曲线y=fx在点0,0处的切线的斜率为1,则曲线y=fx在点0,0处的切线方程为y=x.
11.【答案】B【解析】i当a=0时,fx=-3x2+1,令fx=0,解得x=±,函数fx有两个零点,舍去.ii当a≠0时,f′x=3ax2-6x=3axx-,令f′x=0,解得x=0或.a<0时,<0,当x<或x>0时,f′x<0,此时函数fx单调递减;当<x<0时,f′x>0,此时函数fx单调递增.∴是函数fx的极小值点,0是函数fx的极大值点.∵函数fx=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0,则即可得a<-
2.
②当a>0时,>0,当x>或x<0时,f′x>0,此时函数fx单调递增;当0<x<时,f′x<0,此时函数fx单调递减.∴是函数fx的极小值点,0是函数fx的极大值点.不满足函数fx=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0,综上可得实数a的取值范围是-∞,-
2.
12.【答案】A【解析】对于区间[﹣3,2]上的任意x1,x2都有|fx1﹣fx2|≤t,等价于对于区间[﹣3,2]上的任意x,都有fxmax﹣fxmin≤t,∵fx=x3﹣3x﹣1,∴f′x=3x2﹣3=3x﹣1x+1,∵x∈[﹣3,2],∴函数在[﹣3,﹣1]、[1,2]上单调递增,在[﹣1,1]上单调递减∴fxmax=f2=f﹣1=1,fxmin=f﹣3=﹣19∴fxmax﹣fxmin=20,∴t≥20∴实数t的最小值是
20.
13.【答案】0,+∞
14.【答案】-∞,1]【解析】若命题p x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则判别式△=4-4a≥0,即a≤
1.
15.【答案】1,0【解析】∵直线l过点1,0且垂直于x轴,∴x=1,代入到y2=4ax,可得y2=4a,显然a>0,∴y=±2,∵l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,∴4=4,解得a=1,∴y2=4x,∴抛物线的焦点坐标为1,
0.
16.【答案】2x-y-1=0【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2,代入抛物线方程得y12=4x1,
①,y22=4x2,
②,
①-
②整理得,则弦AB所在直线方程为y-1=2x-1,即为2x-y-1=
0.
17.【答案】1a=2,b=
9. 2 由;
18.【答案】 解∵∴ ∴,
(1)∵函数在处的切线方程为∴ 解得.
(2)的定义域为> ∵在其定义域内单调递增∴>0在恒成立(允许个别点处等于零)∵>0(>0)即>0令,则其对称轴方程是.
① 当即时,在区间上递增∴在区间上有>0,满足条件.
② 当>0即>0时,在区间上递减,在区间上递增,则(>0) 解得0< 综上所得, 另解
(2)的定义域为> ∵在其定义域内单调递增∴>0在恒成立(允许个别点处取到等号)0)即(允许个别值处取到等号)令,则 , 因为, 当且仅当即时取到等号. 所以 所以 …【解析】略19【答案】
(1);
(2)20【答案】21【答案】a∈-∞,-2]∪[23.【解析】略22【答案】【小题1】根据题意,椭圆E的焦距为,则2c=,所以c=,因为所以a=c=2,因为a2=b2+c2,所以b2=2,所以椭圆方程为.【小题2】因为直线CM不在x轴上,故可设lCM x=my-
2.由得m2+2y2-4my=0,∴,即P.在直线x=my-2中令x=2,则,即M2,.∴∴为定值
4.【解析】【小题1】根据题意,分析可得椭圆中c的值,结合椭圆的离心率公式可得a的值,计算可得b的值,将a、b的值代入椭圆的方程,即可得答案;【小题2】根据题意,设lCM x=my-2,联立直线与椭圆的方程,用根与系数的关系分析,用m表示P的坐标结合直线的方程分析可得M的坐标,进而可以用m表示,分析可得答案.。