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文本内容:
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理考生注意
1.本卷分第I卷和第II卷,满分150分,考试时间120分钟答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上
2.选择题的作答每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内
一、选择题
1.设,则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件
2.点P(﹣1,2)到直线8x﹣6y+15=0的距离为( )A.2B.C.1D.
3.若实数满足的取值范围为()A.B.C.D.
4.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为()A.B.C.D.
5.已知圆,圆,圆与圆的位置关系为()A.外切B.内切C.相交D.相离
6.已知圆,从点发出的光线,经轴反射后恰好经过圆心,则入射光线的斜率为()A.B.C.D.
7.已知抛物线的焦点到准线距离为则()A.B.C.D.
8.已知双曲线C的焦点到渐近线的距离为3,则双曲线C的短轴长为( )A.B.C.D.
9.已知函数,若,则的值等于()A.B.C.D.
10.设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为.若=2,则该椭圆的方程为()A.B.C.D.
11.已知命题“函数在区间上是增函数”;命题“存在,使成立”,若为真命题,则的取值范围为()A.B.C.D.
12.已知两点,,点是椭圆上任意一点,则点到直线的距离最大值为()A.B.C.D.第II卷(非选择题)
二、填空题
13.已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点,是坐标原点,且满足,则的值为__________.
14.已知函数中,为参数,已知曲线在处的切线方程为,则__________.
15.过点且垂直于直线的直线方程是_____________.
16.已知圆的圆心位于直线上,且圆过两点,,则圆的标准方程为__________.
三、解答题
17.定圆动圆过点且与圆相切,记圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)设点在上运动与关于原点对称,且当的面积最小时求直线的方程.
18.已知椭圆的中心在坐标原点,左、右焦点分别在轴上,离心率为,在其上有一动点,到点距离的最小值是
1.过作一个平行四边形,顶点都在椭圆上,如图所示.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)判断能否为菱形,并说明理由.(Ⅲ)当的面积取到最大值时,判断的形状,并求出其最大值.
19.已知点,点是直线上的动点,过作直线,,线段的垂直平分线与交于点.1求点的轨迹的方程;2若点是直线上两个不同的点,且的内切圆方程为,直线的斜率为,求的取值范围.
20.已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数的值;
(2)设,若,且对任意的恒成立,求的最大值.
21.已知椭圆的左右焦点分别是,直线与椭圆交于两点,当时,恰为椭圆的上顶点,此时的面积为
6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左顶点为,直线与直线分别相交于点,问当变化时,以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由.
22.如图为双曲线的两焦点,以为直径的圆与双曲线交于是圆与轴的交点,连接与交于,且是的中点,
(1)当时,求双曲线的方程;
(2)试证对任意的正实数,双曲线的离心率为常数.参考答案
1.A
2.B
3.B
4.D
5.C
6.C
7.D
8.B
9.C
10.A
11.B
12.A
13.
14.
115.
16.
17.
(1)在圆内所以圆内切于圆.点的轨迹为椭圆,且轨迹的方程为.
(2)
①当为长轴(或短轴)时,此时.
②当直线的斜率存在且不为时,设直线方程为联立方程得.将上式中的替换为得.当且仅当即时等号成立,此时面积最小值是.面积最小值是此时直线的方程为或.
18.(Ⅰ)依题,令椭圆的方程为,所以离心率,即.令点的坐标为,所以,焦点,即,(没有此步,不扣分)因为,所以当时,,由题,结合上述可知,所以,于是椭圆的方程为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,如图,直线不能平行于轴,所以令直线的方程为,联立方程,,得,所以,.若是菱形,则,即,于是有,又,所以有,得到,可见没有实数根,故不能是菱形.(Ⅲ)由题,而,又即,由(Ⅱ)知.所以,,因为函数,在时,,即得最大值为6,此时,也就是时,这时直线轴,可以判断是矩形.
19.1据题设分析知,点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,所以曲线的方程为.2设,点,点,直线的方程为,化简,得,又因为内切圆的方程为.所以圆心到直线的距离为1,即,所以,由题意,得,所以.同理,有,所以是关于的方程的两根,所以因为所以.因为,所以.直线的斜率,则,所以.因为函数在上单调递增,所以当时,,所以,所以,所以.所以的取值范围是.
20.
(1),所以且,解得,
(2)由
(1)与题意知对任意的恒成立,设,则,令,则,所以函数为上的增函数.因为,所以函数在上有唯一零点,即有成立,所以故当时,,即;当时,,即所以函数在上单调递减,在上单调递增所以所以,因为,所以,又因所以最大值为
21.
(1)当时,直线的倾斜角为,所以解得,所以椭圆方程是;
(2)当时,直线,此时,,,又点坐标是,据此可得,,故以为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6.由此猜测当变化时,以为直径的圆恒过焦点,被轴截得的弦长为定值6. 证明如下设点点的坐标分别是,则直线的方程是,所以点的坐标是,同理,点的坐标是,由方程组 得到,所以, 从而=0,所以以为直径的圆一定过右焦点,被轴截得的弦长为定值6.
22.
(1)由1有设
(2)设为常数。