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2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文IV
一、选择题(12小题,每题5分,共60分)
1、已知复数z满足iz=2+3i,则z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、设命题p∀x>0,x-lnx>0,则¬p为A.∃x0>0,x0-lnx0>0B.∃x0>0,x0-lnx0≤0C.∀x>0,x-lnx<0D.∀x>0,x-lnx≤
03、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=A.2B.3C.4D.
54、若a,b∈R,则“a>0,b>0”是“a+b>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5、已知双曲线的一条渐近线为,则实数a的值为A.B.2C.D.
46、下列说法错误的是A.对分类变量X与Y,随机变量K2的观测值k越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越小B.在回归直线方程=
0.2x+
0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量平均增加
0.2个单位C.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1D.回归直线过样本点的中心(,)
7、函数f(x)=2x2-4lnx的单调减区间为A.(-1,1)B.(1,+∞)C.(0,1)D.[-1,0)
8、椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的余弦值为A.B.C.D.
9、若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值为A.B.C.D.
10、《论语》云“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是A.合情推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理
11、已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则△PAF周长的最小值为A.12B.11C.10D.
912、函数f(x)的定义域为R,f
(1)=3,对任意x∈R,都有f(x)+f(x)<2,则不等式ex•f(x)>2ex+e的解集为A.{x|x<1}B.{x|x>1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<-1或0<x<1}
二、填空题(4小题,每题5分,共20分)
13、原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”.当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生______天.
14、统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表广告费用x2356销售额y7m912若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=
1.1x+
4.6,则数据中的m的值应该是______.
15、点P是双曲线x2-=1(b>0)上一点,F
1、F2是双曲线的左、右焦点,|PF1|+|PF2|=6,PF1⊥PF2,则双曲线的离心率为
16、若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是( )A.a>-1B.C.a<-1D.
三、解答题(6小题,共70分)17(10分)、设命题p实数x满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0,命题q实数x满足(x-3)(x-2)≤0.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18(12分)、已知集合A={(x,y)︱x∈[0,2],y∈[-1,1]}.
(1)若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;
(2)若x,y∈R,求x+y≥0的概率.19(12分)、某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
(1)根据茎叶图中的数据完成2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?购买意愿强购买意愿弱合计20-40岁大于40岁合计
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,求这2人都是年龄大于40岁的概率.附.P(K2≥k0)
0.
1000.
0500.
0100.001k
02.
7063.
8416.
63510.82820(12分)、正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB中点,F为CD1中点.
(1)求证EF∥平面ADD1A1;
(2)求直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值.21(12分)、已知点P(0,-2),椭圆E的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线PF的斜率为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线l被圆O x2+y2=3截得的弦长为3,且与椭圆E交于A、B两点,求△AOB面积的最大值.22(12分)、已知函数f(x)=a--lnx,g(x)=ex-ex+1.(Ⅰ)若a=2,求函数f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)=0恰有一个解,求a的值;(Ⅲ)若g(x)≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围.xx高二期末考试数学(文科)试卷答案
1、选择题(12小题,每题5分,共60分)题号123456789101112答案DBCADACBCABA
3、解当n=1时,a=,b=4,满足进行循环的条件,当n=2时,a=,b=8满足进行循环的条件,当n=3时,a=,b=16满足进行循环的条件,当n=4时,a=,b=32不满足进行循环的条件,故输出的n值为4,故选C.
4、解当“a>0,b>0”时,由不等式的性质可知“a+b>0”,反之若“a+b>0”,如a=-1,b=2,不满足“a>0,b>0”,则“a>0,b>0”是“a+b>0”的充分不必要条件,故选A.
5、解∵双曲线的渐近线为,∴,解得a=4,故选D.
6、解A.对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越大,“X与Y有关系”可信程度越大,因此不正确;B.在线性回归方程=
0.2x+
0.8中,当x每增加1个单位时,预报量平均增加
0.2个单位,正确;C.两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1,因此正确;D.回归直线过样本点的中心(,),正确.综上可知只有A不正确.故选A.
7、解f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=4x-=,令f′(x)<0,解得0<x<1,故选C.
8、解根据题意,椭圆的标准方程为+=1,其中a==3,b=,则c=,则有|F1F2|=2,若a=3,则|PF1|+|PF2|=2a=6,又由|PF1|=4,则|PF2|=6-|PF1|=2,则cos∠F1PF2==;故选B.
9、解函数f(x)=4x3-ax2-2bx的导数为f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,可得f′
(1)=0,即12-2a-2b=0,即为a+b=6,(a,b>0),则+=(a+b)(+)=(5++)≥•(5+2)=•(5+4)=.当且仅当=,即有a=2b=4时,取得最小值.故选C.
11、解抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l x=-1,点A(5,3)在抛物线内部,丨FA丨==5.P是抛物线上的动点,PD⊥l交l于D,由抛物线的定义可知|PF|=|PD|;∴要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小,当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,为5-(-1)=6,则(|PA|+|PF|)min=6.△PAF周长的最小值为6+5=11.故选B.
12、解令g(x)=exf(x)-2ex-e,则g′(x)=exf(x)+exf′(x)-2ex=ex[f(x)+f′(x)-2],∵f(x)+f′(x)<2,∴f(x)+f′(x)-2<0,∴g′(x)<0,即g(x)在R上单调递减,又f
(1)=3,∴g
(1)=ef
(1)-2e-e=0,故当x<1时,g(x)>g
(1),即exf(x)-2ex-e>0,整理得exf(x)>2ex+e,∴exf(x)>2ex+e的解集为{x|x<1}.故选A.
二、填空题(4小题,每题5分,共20分)
13、解由题意满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510.
14、解由题意,=4,=7+,∵y对x的回归直线方程是=
1.1x+
4.6,∴7+=
4.4+
4.6,∴m=8.
15、解根据题意,点P是双曲线x2-=1(b>0)上一点,则有||PF1|-|PF2||=2a=2,设|PF1|>|PF2|,则有|PF1|-|PF2|=2,又由|PF1|+|PF2|=6,解可得|PF1|=4,|PF2|=2,又由PF1⊥PF2,则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20,则c=,又由a=1,则双曲线的离心率e==;
16、解∵y=ex+ax,∴y=ex+a.由题意知ex+a=0有大于0的实根,由ex=-a,得a=-ex,∵x>0,∴ex>1.∴a<-1.
三、解答题(6小题,共70分)
17、解
(1)由(x-1)(x-3)<0,得P={x|1<x<3},由(x-3)(x-2)≤0,可得Q={x|2≤x≤3},由p∧q为真,即为p,q均为真命题,可得x的取值范围是2≤x<3;
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,可得q是p的充分不必要条件,由题意可得P={x|a<x<3a},Q={x|2≤x≤3},由Q⊊P,可得a<2且3<3a,解得1<a<2.
18、解
(1)设“x+y≥0,x,y∈Z”为事件A,x,y∈Z,x∈[0,2],即x=0,1,2;y∈[-1,1],即y=-1,0,1.则基本事件有(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)共9个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个,∴P(A)=.故x,y∈Z,x+y≥0的概率为.
(2)设“x+y≥0,x,y∈R”为事件B,∵x∈[0,2],y∈[-1,1],则基本事件为如图四边形ABCD区域,事件B包括的区域为其中的阴影部分.基本事件如图四边形ABCD区域S=4,事件B包括的区域如阴影部分S′=S-=∴P(B)==.
19、解
(1)由茎叶图可得购买意愿强购买意愿弱合计20~40岁20828大于40岁101222合计302050由列联表可得.所以,没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关.
(2)购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,所以年龄在20~40岁的抽取了2人,记为a,b,年龄大于40岁的抽取了3人,记为A,B,C,从这5人中随机抽取2人,所有可能的情况为(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况,所以概率为.
20、解
(1)证明取DD1中点M,连接MA,MF,有,所以AEFM是平行四边形,所以EF∥AM,又AM⊂平面ADD1A1,EF⊄平面ADD1A1,所以EF∥平面ADD1A1,得证.
(2)因为EF∥AM,AD⊥平面CDD1C1,所以∠AMD与直线EF和平面CDD1C1所成角相等,又在Rt△AMD中,有,所以直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值为.
21、解
(1)设F(c,0),由已知得,直线PF的斜率k=,得c=1,又,则,b=1,故椭圆E的方程为
(2)记点O到直线l的距离为d,则,
①当直线l与y轴平行时,直线l的方程为,易求,∴,
②当直线l与y轴不平行时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得,∴,由得(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-1)=0,又△=10k2+2>0,∴,,∴,,,当且仅当k=±1时取等号,综上当k=±1时,△AOB面积的最大值为
22、解(Ⅰ)∵a=2,∴f
(1)=2-1=1,f(x)=,∴f
(1)=0,∴切线方程为y=1;(Ⅱ)令m(x)=+lnx,∴m(x)=-+,∴当x在(0,1)时,m(x)>0,m(x)递增,当x在(1,+∞)是,m(x)<0,m(x)递减,故m(x)的最大值为m
(1)=1,f(x)=0恰有一个解,即y=a,与m(x)只有一个交点,∴a=1;(Ⅲ)由(Ⅱ)知函数的最大值为f
(1)=a-1,g(x)=ex-ex+1.g(x)=ex-e,∴当x在(0,1)时,g(x)<0,g(x)递减,当x在(1,+∞)时,g(x)>0,g(x)递增,∴函数g(x)的最小值为g
(1)=1,g(x)≥f(x)恒成立,∴1≥a-1,∴a≤2.。