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2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理II
一、选择题(12小题,每题5分,共60分)
1、已知复数z满足iz=2+3i,则z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、设命题p∀x>0,x-lnx>0,则¬p为A.∃x0>0,x0-lnx0>0B.∃x0>0,x0-lnx0≤0C.∀x>0,x-lnx<0D.∀x>0,x-lnx≤
03、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=( )A.2B.3C.4D.
54、已知命题p,q,“¬p为真”是“p∧q为假”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5、已知双曲线的一条渐近线为,则实数a的值为A.B.2C.D.
46、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,CC1的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A.B.C.-D.-
7、函数f(x)=2x2-4lnx的单调减区间为A.(-1,1)B.(1,+∞)C.(0,1)D.[-1,0)
8、由曲线xy=1与直线y=x,y=3所围成的封闭图形面积为A.2-ln3B.4-ln3C.2D.ln
39、若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值为A.B.C.D.
10、《论语》云“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是A.合情推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理
11、已知F是椭圆=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是A.B.C.D.
12、若函数f(x)=4-x2+alnx满足∀x>0,有f(x)≤3成立,则a的取值范围是( )A.{2}B.(,2]C.[2,3)D.(1,2]
二、填空题(4小题,每题5分,共20分)
13、
14、统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表广告费用x2356销售额y7m912若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=
1.1x+
4.6,则数据中的m的值应该是______.
15、点P是双曲线x2-=1(b>0)上一点,F
1、F2是双曲线的左、右焦点,|PF1|+|PF2|=6,PF1⊥PF2,则双曲线的离心率为
16、若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是
三、解答题(6小题,共70分)17(10分)、设命题p实数x满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0,命题q实数x满足(x-3)(x-2)≤0.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18(12分)、已知集合A={(x,y)︱x∈[0,2],y∈[-1,1]}.
(1)若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;
(2)若x,y∈R,求x+y≥0的概率.19(12分)、已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.
(1)求证OA⊥OB;
(2)当AB的弦长等于时,求k的值.20(12分)、如图,在四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.
(1)求证AM⊥PD
(2)求点D到平面ACM的距离.21(12分)、已知点P(0,-2),椭圆E的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线PF的斜率为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线l被圆O x2+y2=3截得的弦长为3,且与椭圆E交于A、B两点,求△AOB面积的最大值.22(12分)、已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=.
(1)求f(x)的最小值;
(2)求证f(x)>g(x);
(3)若f(x)+ax+b≥0,求的最小值.xx高二期末考试数学(理科)试卷
1、选择题(12小题,每题5分,共60分)题号123456789101112答案DBCADACBCABA
3、解当n=1时,a=,b=4,满足进行循环的条件,当n=2时,a=,b=8满足进行循环的条件,当n=3时,a=,b=16满足进行循环的条件,当n=4时,a=,b=32不满足进行循环的条件,故输出的n值为4,故选C.
4、解若“¬p为真”,则p为假,“p∧q为假”,若“p∧q为假”,则可能p真q假,则“¬p为真”不成立,故“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件,故选A.
5、解∵双曲线的渐近线为,∴,解得a=4,故选D.
6、解以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,E,F分别是C1D1,CC1的中点,A(2,0,0),E(0,1,2),B(2,2,0),F(0,2,1),=(-2,1,2),=(-2,0,1),设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ,则cosθ===.∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为.故选A.
7、解f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=4x-=,令f′(x)<0,解得0<x<1,故选C.
8、解方法一由xy=1,y=3可得交点坐标为(,3),由xy=1,y=x可得交点坐标为(1,1),由y=x,y=3可得交点坐标为(3,3),∴由曲线xy=1,直线y=x,y=3所围成的平面图形的面积为(3-)dx+(3-x)dx=(3x-lnx)+(3x-x2),=(3-1-ln3)+(9--3+)=4-ln3故选B.方法二由xy=1,y=3可得交点坐标为(,3),由xy=1,y=x可得交点坐标为(1,1),由y=x,y=3可得交点坐标为(3,3),对y积分,则S=(y-)dy=(y2-lny)=-ln3-(-0)=4-ln3,故选B.
9、解函数f(x)=4x3-ax2-2bx的导数为f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,可得f′
(1)=0,即12-2a-2b=0,即为a+b=6,(a,b>0),则+=(a+b)(+)=(5++)≥•(5+2)=•(5+4)=.当且仅当=,即有a=2b=4时,取得最小值.故选C.
11、解根据椭圆几何性质可知|PF|=,|AF|=a+c,所以=(a+c),即4b2=3a2-3ac,因为b2=a2-c2,所以有4a2-4c2=3a2-3ac,整理可得4c2+3ac-a2=0,两边同除以a2得4e2+3e-1=0,所以(4e-1)(e+1)=0,由于0<e<1,所以e=.故选B
12、解函数f(x)=4-x2+alnx满足∀x>0,有f(x)≤3成立⇔x2-1-alnx≥0对∀x>0恒成立.令g(x)=x2-1-alnx,,
①当a≤0时,g′(x)≥0恒成立,g(x)在(0,+∞)单调递增,而g
(1)=0,故不符合题意;
②当a>0时,令g′(x)=0,x,g(x)在x=处有极小值,而g
(1)=0∴,∴a=2,故选A
二、填空题(4小题,每题5分,共20分)
13、解(x2+x)|=6;
14、解由题意,=4,=7+,∵y对x的回归直线方程是=
1.1x+
4.6,∴7+=
4.4+
4.6,∴m=
815、解根据题意,点P是双曲线x2-=1(b>0)上一点,则有||PF1|-|PF2||=2a=2,设|PF1|>|PF2|,则有|PF1|-|PF2|=2,又由|PF1|+|PF2|=6,解可得|PF1|=4,|PF2|=2,又由PF1⊥PF2,则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20,则c=,又由a=1,则双曲线的离心率e==;
16、解∵y=ex+ax,∴y=ex+a.由题意知ex+a=0有大于0的实根,由ex=-a,得a=-ex,∵x>0,∴ex>1.∴a<-1.
三、解答题(6小题,共70分)17解
(1)由(x-1)(x-3)<0,得P={x|1<x<3},由(x-3)(x-2)≤0,可得Q={x|2≤x≤3},由p∧q为真,即为p,q均为真命题,可得x的取值范围是2≤x<3;
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,可得q是p的充分不必要条件,由题意可得P={x|a<x<3a},Q={x|2≤x≤3},由Q⊊P,可得a<2且3<3a,解得1<a<2.
18、解
(1)设“x+y≥0,x,y∈Z”为事件A,x,y∈Z,x∈[0,2],即x=0,1,2;y∈[-1,1],即y=-1,0,1.则基本事件有(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)共9个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个,∴P(A)=.故x,y∈Z,x+y≥0的概率为.
(2)设“x+y≥0,x,y∈R”为事件B,∵x∈[0,2],y∈[-1,1],则基本事件为如图四边形ABCD区域,事件B包括的区域为其中的阴影部分.基本事件如图四边形ABCD区域S=4,事件B包括的区域如阴影部分S′=S-=∴P(B)==.
19、解
(1)证明由方程y2=-x,y=k(x+1)消去x后,整理得ky2+y-k=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理y1•y2=-1.∵A、B在抛物线y2=-x上,∴y12=-x1,y22=-x2,y12•y22=x1x2.∵kOA•kOB=•===-1,∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N,又显然k≠0,∴令y=0,则x=-1,即N(-1,0).∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|•|y1-y2|,∴S△OAB=•1•=.∵S△OAB=,∴=.解得k=±.
20、证明
(1)∵在四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,∴AB⊥AD,AB⊥PA,∵PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,∵BM⊥PD于点M,AB∩BM=B,∴PD⊥平面ABM,∵AM⊂平面ABM,∴AM⊥PD.解
(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,2,0),P(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,1),=(0,2,0),=(1,2,0),=(0,1,1),设平面ACM的法向量=(x,y,z),则,取x=2,得=(2,-1,1),∴点D到平面ACM的距离d===.
22、
(1)解f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1-=,令f′(x)<0,解得0<x<1,令f′(x)>0,解得x>1,∴f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,∴f(x)的最小值是f
(1)=1;
(2)证明g(x)=,g′(x)=,令g′(x)>0,解得0<x<e,令g′(x)<0,解得x>e,故g(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,故g(x)max=g(e)=,由
(1)f(x)min=f
(1)=1>g(e)=,故f(x)>g(x);
(3)解f(x)+ax+b≥0,即x-lnx+ax+b≥0.∴b≥lnx-ax-x,令h(x)=lnx-ax-x,h′(x)==,若a+1≤0,则h′(x)>0,h(x)为增函数,无最大值;若a+1>0,由h′(x)>0,得0<x<,由h′(x)<0,得x>,∴h(x)在(0,)上为增函数,在()上为减函数,∴h(x)≤h()=-1-ln(a+1).∴b≥-1-ln(a+1),∴.设φ(a)=.则φ′(a)=,由φ′(a)>0,得a>e-1;由φ′(a)<0,得-1<a<e-1.∴φ(a)≥φ(e-1)=.∴的最小值为.。