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2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题I第Ⅰ卷一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若复数z满足,则=()A.B.C.D.
2.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数fx=-x3+x2+2x取极小值时,x的值是 A.2 B.2,-1C.-1D.-34.若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合则p的值为 A.-2B.2C.-4D.
45.设平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于E,P为空间任意一点,如图所示,若+++=x,则x= A.2B.3C.4D.56.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点到焦点的距离等于5,则m的值()A.B.C.D.7.已知两点、,且是与的等差中项,则动点的轨迹方程是)A.B.C.D.
8.函数在区间上单调递减则的取值范围是()A.B.C.D.9.现要做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其容积为且用料最省,则水桶底面圆的半径为()A.B.C.D.
10.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值是 A.0B.C.-D.
11.已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且,则有( )A.B.C.D.
12.椭圆与圆(为椭圆半焦距)有四个不同交点,则离心率的取值范围是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数的虚部为___________.
14.已知向量,,若=6,且,则x+y=________.
15.若曲线在点处的切线与直线垂直,则_______
16.已知函数在上不是单调函数,则实数的取值范围为________
三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.)
17.(本题10分)已知函数fx=x3-3ax2+2bx在点x=1处的极小值为-1,试确定a,b的值,并求fx的单调区间.
18.(本题12分)已知椭圆C与椭圆x2+37y2=37的焦点F1,F2相同,且椭圆C过点.1求椭圆C的标准方程;2若P∈C,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.19(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=
5.1求证AA1⊥平面ABC;2求二面角A1-BC1-B1的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知抛物线C y2=2px过点P11.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.1求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;2求证A为线段BM的中点.
21.本小题满分12分如图所示,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=,E为PD上一点,PE=2ED.1求证PA⊥平面ABCD;2在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF∥平面AEC?若存在,指出F点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分12分)设=lnx,gx=+.1求gx的单调区间和最小值;2讨论gx与g的大小关系;3求a的取值范围,使得ga-gx对任意x0成立.xx高二年级月考
(二)数学试题答案
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案BBCCCDCBBACA二.填空题共4小题,每小题5分,共20分.
13. -1
14. 1或-3
15. -1
16. -4-323
三、解答题(共70分)
17.解析由已知f′x=3x2-6ax+2b,∴f′1=3-6a+2b=0,
①又∵f1=1-3a+2b=-1,
②由
①②解得a=,b=-,∴fx=x3-x2-x,由此得f′x=3x2-2x-1=3x+1x-1,令f′x0,得x-或x1,令f′x0,得-x1,∴fx在x=1的左侧f′x0,右侧f′x0,即fx在x=1处取得极小值,故a=,b=-,且fx=x3-x2-x,它的单调增区间是-∞,-和1,+∞,它的单调减区间是-,1.18解1因为椭圆+y2=1的焦点坐标为-60,60.所以设椭圆C的标准方程为+=1a236.将点的坐标代入整理得a4-109a2+900=0,解得a2=100或a2=9舍去,所以椭圆C的标准方程为+=1.2因为P为椭圆C上任一点,所以|PF1|+|PF2|=2a=20.由1知c=6,在△PF1F2中,|F1F2|=2c=12,所以由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos,即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.因为|PF1|2+|PF2|2=|PF1|+|PF2|2-2|PF1|·所以122=|PF1|+|PF2|2-3|PF1|·|PF2|.所以122=202-3|PF1||PF2|.所以|PF1|·|PF2|===.S△PF1F2=|PF1|·|PF2|sin=××=.所以△F1PF2的面积为.
19.解1证明因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.2由1知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B030,A1004,B1034,C1404.设平面A1BC1的法向量为n=x,y,z,则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=043.同理可得,平面B1BC1的一个法向量为m=340.所以cos〈n,m〉==.由题知二面角A1BC1B1为锐角,所以二面角A1BC1B1的余弦值为.
20.[解] 1由抛物线C y2=2px过点P11,得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.2证明由题意,设直线l的方程为y=kx+k≠0,l与抛物线C的交点为Mx1,y1,Nx2,y2.由得4k2x2+4k-4x+1=0,则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为11,所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为x1,x1.直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=====0,所以y1+=2x1,故A为线段BM的中点.
21.解1证明∵PA=AD=1,PD=,∴PA2+AD2=PD2,即PA⊥AD.又PA⊥CD,AD∩CD=D,∴PA⊥平面ABCD.2以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则A000,B100,C110,P001,E,=110,=.设平面AEC的法向量为n=x,y,z,则即令y=1,则n=-11,-2.假设侧棱PC上存在一点F,且=λ0≤λ≤1,使得BF∥平面AEC,则·n=
0.又∵=+=010+-λ,-λ,λ=-λ,1-λ,λ,∴·n=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=,∴存在点F,使得BF∥平面AEC,且F为PC的中点.
22.[解析] 1由题设知gx=lnx+,∴g′x=,令g′x=0,得x=
1.当x∈01时,g′x0,故01是gx的单调递减区间.当x∈1,+∞时,g′x0,故1,+∞是gx的单调递增区间,因此,x=1是gx的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g1=
1.2g=-lnx+x,设hx=gx-g=2lnx-x+,则h′x=-.当x=1时,h1=0,即gx=g.当x∈01∪1,+∞时,h′x0,h′1=0,因此,hx在0,+∞内单调递减.当0x1时,hxh1=0,即gxg,当x1时,hxh1=0,即gxg.3由1知gx的最小值为1,所以ga-gx对任意x0成立⇔ga-1,即lna1,从而得0ae,即a的取值范围为0,e.。