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2019-2020学年高二数学下学期第二次阶段考试试题一.选择题(共8小题)1.对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(﹣x)+f(3+x)=0,若f(﹣1)=1,则f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)=( )A.﹣1B.0C.1D.22.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4)且f
(3)=0,则方程f(x)=0在区间(0,10)内整数根有( )A.4个B.5个C.6个D.7个3.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+2),且f
(1)=0,则f(x)在区间(0,5]上具有零点的最少个数是( )A.5B.4C.3D.24.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),则,f(xx)的值为( )A.﹣1B.0C.1D.25.对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+)=﹣f(x),则f
(1)+f
(2)+f
(3)=( )A.0B.﹣1C.3D.26.对任意的x∈R,定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=﹣f(x+4),则f
(1000)=( )A.﹣1B.1C.0D.10007.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2﹣x),且f(﹣1)=2,则f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)的值为( )A.1B.0C.﹣2D.28.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy(x,y∈R),f
(1)=2.则f(﹣2)=( )A.2B.4C.8D.16二.填空题(共2小题)9.定义在R上的奇函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),当x∈(﹣2,0)时,f(x)=2x,则f(xx)﹣f(xx)= .10.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x)=﹣f(x+4),且在区间[0,2]上是增函数,则f(﹣17),f
(27),f
(64)的大小关系从小到大的排列顺序为 .三.解答题(共4小题)11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4),且x∈(0,2]时,f(x)=.
(1)求f(x)在[﹣2,2]上的解析式;
(2)判断f(x)在[0,2]上的单调性,并给予证明;
(3)当λ为何值时,关于方程f(x)=λ在[﹣2,2]上有实数解?12.若函数f(x)对任意实数x.y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f
(1)=﹣2;
(1)求证f(x)为奇函数
(2)求证f(x)是R上的减函数
(3)求f(x)在[﹣3,4]上的最大值和最小值
(4)解不等f(x﹣4)+f(2﹣x2)≤16.13.若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)•f(y)=f(x+y),且当x<0时f(x)>1.
(1)求证f(x)>0;
(2)求证f(x)为R上的减函数;
(3)当时,对a∈[﹣1,1]时恒有,求实数x的取值范围.14.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,1)时f(x)>0,且x,y∈(0,+∞)时总有f(x•y)=f(x)+f(y)
(1)求证f()=f(x)﹣f(y);
(2)证明函数f(x)在定义域(0,+∞)上为减函数;
(3)若f
(3)=1,且f(a)<f(a﹣1)+2,求a的取值范围. 一.选择题(共8小题)1.对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(﹣x)+f(3+x)=0,若f(﹣1)=1,则f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)=( )A.﹣1B.0C.1D.2【分析】利用函数的奇偶性,以及函数的关系式,求出函数的周期,然后求解函数值即可.【解答】解定义在R上的奇函数f(x),满足f(﹣x)+f(3+x)=0,可得f(x)=f(3+x),所以函数的周期为3.定义在R上的奇函数f(x),可知f
(0)=0,又f(﹣1)=1,∴f
(2)=f(﹣1)=1,f
(1)=﹣f(﹣1)=﹣1.f
(1)+f
(2)+f
(3)=﹣1+1+0=0;∴f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)=671(f
(1)+f
(2)+f
(3))+f
(1)+f
(2)=0﹣1+1=0.故选B.【点评】本题考查抽象函数的应用,函数的周期以及函数的奇偶性的应用,考查计算能力. 2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4)且f
(3)=0,则方程f(x)=0在区间(0,10)内整数根有( )A.4个B.5个C.6个D.7个【分析】由已知函数为奇函数,求出函数的周期为4可得f
(0)=0⇒f
(4)=f
(8)=0,由f
(3)=0⇒
(7)=0,又f(﹣3)=0⇒f
(1)=f
(5)=f
(9)=0,从而可得结果.【解答】解由已知可知f
(3)=0,因为f(x)是R上的奇函数,所以f(﹣3)=﹣f
(3)=0,f
(0)=0,又因为函数的周期为4,即f(x+4)=f(x),所以f
(0)=f
(4)=f
(8)=0,f
(3)=f
(7)=0,f(﹣3)=f
(1)=f
(5)=f
(9)=0,所以方程f(x)=0在x∈(0,10)的根有1,3,4,5,7,8,9,共7个.故选D.【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数周期的综合运用,解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质,还要具备一定的综合论证的解题能力. 3.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+2),且f
(1)=0,则f(x)在区间(0,5]上具有零点的最少个数是( )A.5B.4C.3D.2【分析】根据函数的奇偶性和周期性之间的关系,即可确定函数零点的个数.【解答】解∵f(x)=f(x+2),∴函数f(x)的周期是2.∵f
(1)=0,∴f
(1)=f
(3)=f
(5)=0,∵f(x)定义在R上的奇函数,∴f
(0)=0,即f
(0)=f
(2)=f
(4)=0,∴在区间(0,5]上的零点至少有1,2,3,4,5,故选A.【点评】本题主要考查函数零点的个数的判断,利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键. 4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),则,f(xx)的值为( )A.﹣1B.0C.1D.2【分析】根据题意,由奇函数的性质可得f
(0)=0,进而由f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,则有f(xx)=f(4×504)=f
(0),即可得答案.【解答】解根据题意,f(x)为R上的奇函数,则有f
(0)=﹣f
(0),即f
(0)=0,f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,则有f(xx)=f(4×504)=f
(0)=0;故选B.【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及周期性的判断与应用,关键在于利用奇函数的性质求出f
(0)的值. 5.对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+)=﹣f(x),则f
(1)+f
(2)+f
(3)=( )A.0B.﹣1C.3D.2【分析】由已知中f(x+)=﹣f(x),可得函数的周期为3,再由奇函数的性质可得f
(3)=,f
(0)=0,f
(2)=﹣f
(1),代入计算可得.【解答】解∵f(x+)=﹣f(x),∴f(x+3)=﹣f(x+)=f(x)∴函数的周期为3,又函数f(x)为R上的奇函数,∴f
(0)=0,∴f
(3)=(0+3)=f
(0)=0,∴f
(2)=f(﹣1+3)=f(﹣1)=﹣f
(1),∴f
(1)+f
(2)+f
(3)=f
(1)﹣f
(1)+0=0故选A.【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性,属基础题. 6.对任意的x∈R,定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=﹣f(x+4),则f
(1000)=( )A.﹣1B.1C.0D.1000【分析】由题意可得,f(x)=﹣f(x+1),故f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期等于2的周期函数,故有f
(1000)=f
(0)=0.【解答】解∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=﹣f(x+4),∴f(x)=﹣f(x+1),f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期等于2的周期函数.∴f
(1000)=f
(0)=0,故选C.【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性,求函数的值,属于中档题. 7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2﹣x),且f(﹣1)=2,则f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)的值为( )A.1B.0C.﹣2D.2【分析】本题通过赋值法对f(2﹣x)=f(x)中的x进行赋值为2+x,可得﹣f(x)=f(2+x),可得到函数f(x)的周期为4,根据奇函数的性质得到f
(0)=0,再通过赋值法得到f
(1),f
(2),f
(3),f
(4)的值,即可求解.【解答】解∵f(2﹣x)=f(x),∴f[2﹣(2+x)]=f(2+x),即f(﹣x)=f(2+x),即﹣f(x)=f(2+x),∴f(x+4)=f(4+x),故函数f(x)的周期为4.∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(2﹣x)﹣f(x)=0,且f(﹣1)=2,∴f
(0)=0,f
(1)=﹣f(﹣1)=﹣2,f
(2)=f
(0)=0,f
(3)=f(﹣1)=2,f
(4)=f
(0)=0,∴f
(1)+f
(2)+f
(3)+…+f(xx)=504•[f
(1)+f
(2)+f
(3)+f
(4)]+f(xx)=504×(﹣2+0+2+0)+f
(1)=0+(﹣2)=﹣2,故选C.【点评】本题通过赋值法结合奇函数的性质,利用周期性和图象平移的知识即可求解,属于基础题. 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy(x,y∈R),f
(1)=2.则f(﹣2)=( )A.2B.4C.8D.16【分析】先计算f
(0)=0,再得出f(x)+f(﹣x)﹣4x2=0,令g(x)=f(x)﹣2x2,则g(x)为奇函数,通过计算g(﹣2)得出f(﹣2)的值.【解答】解令x=y=0得f
(0)=2f
(0),∴f
(0)=0,再令y=﹣x,得f
(0)=f(x)+f(﹣x)﹣4x2=0,令g(x)=f(x)﹣2x2,则g(x)+g(﹣x)=f(x)+f(﹣x)﹣4x2=0,∴g(x)=f(x)﹣2x2是奇函数,∵f
(2)=2f
(1)+4=8,∴g
(2)=f
(2)﹣8=0,∴g(﹣2)=f(﹣2)﹣8=0,∴f(﹣2)=8.故选C.【点评】本题考查了抽象函数的性质应用,奇函数的判断与性质,属于中档题. 二.填空题(共2小题)9.定义在R上的奇函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),当x∈(﹣2,0)时,f(x)=2x,则f(xx)﹣f(xx)= ﹣ .【分析】求出函数的周期,利用函数的周期以及函数的奇偶性,转化求解函数值即可.【解答】解对任意x∈R都有f(x)=f(x+4),可知函数的周期为4.当x∈(﹣2,0)时,f(x)=2x,在R上的奇函数f(x),f
(0)=0,则f(xx)﹣f(xx)=f
(0)﹣f(﹣1)=0﹣2﹣1=﹣.故答案为.【点评】本题考查抽象函数的应用,函数的奇偶性的应用,考查计算能力. 10.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x)=﹣f(x+4),且在区间[0,2]上是增函数,则f(﹣17),f
(27),f
(64)的大小关系从小到大的排列顺序为 f(﹣17),f
(64),f
(27) .【分析】先由f(x)是奇函数且f(x+4)=﹣f(x)转化得到f(x+8)=f(x),然后按照条件,将问题转化到区间[0,2]上应用函数的单调性进行比较.【解答】解∵f(x)=﹣f(x+4)∴f(x+8)=f(x)∵f(x)是奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x),f
(0)=0∴f(﹣17)=f(﹣9)=f(﹣1)=﹣f
(1)f
(27)=f
(19)=f
(11)=f
(3)=﹣f(﹣1)=f
(1)f
(64)=f
(0)=0∵f(x)在区间[0,2]上是增函数∴f
(1)>0,﹣f
(1)<0∴f
(27)>f
(64)>f(﹣17)故答案为f(﹣17),f
(64),f
(27)【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用,综合性较强,条件间结合与转化较大,属中档题. 三.解答题(共6小题)11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4),且x∈(0,2]时,f(x)=.
(1)求f(x)在[﹣2,2]上的解析式;
(2)判断f(x)在[0,2]上的单调性,并给予证明;
(3)当λ为何值时,关于方程f(x)=λ在[﹣2,2]上有实数解?【分析】
(1)由条件可得函数的周期为4,设x∈[﹣2,0),则﹣x∈(0,2],根据f(﹣x)===﹣f(x),求得f(x)=.再根据奇函数的定义可得f
(0)=0,从而求得可得,f(x)在[﹣2,2]上的解析式.
(2)根据f
(0)=0,当x∈(0,2]时,由于f(x)=1﹣>0,且f(x)随着x的增大而增大,可得f(x)在[0,2]上是增函数.再利用函数的单调性的定义进行证明.
(3)由题意可得,本题即求函数λ=f(x)在[﹣2,2]上的值域,再利用函数的单调性求得函数f(x)在[﹣2,2]上的值域.【解答】解
(1)∵奇函数f(x)满足f(x)=f(x+4),故函数的周期为4.由于x∈(0,2]时,f(x)=,设x∈[﹣2,0),则﹣x∈(0,2],故f(﹣x)===﹣f(x),∴f(x)=.再根据奇函数的定义可得f
(0)=0,可得,f(x)在[﹣2,2]上的解析式为f(x)=.
(2)在[0,2]上,f
(0)=0,当x∈(0,2]时,由于f(x)==1﹣>0,且f(x)随着x的增大而增大,故f(x)在[0,2]上是增函数.证明设0≤x1<x2≤2,则由f(x1)﹣f(x2)=[1﹣]﹣[1﹣]=<0,可得f(x1)<f(x2),故f(x)在[0,2]上是增函数.
(3)由题意可得,本题即求函数λ=f(x)在[﹣2,2]上的值域.利用函数的单调性求得函数f(x)在[﹣2,2]上的值域为{λ|y=0,或<λ≤,或﹣≤λ<﹣},故λ的范围为{λ|y=0,或<λ≤,或﹣≤λ<﹣}.【点评】本题主要考查函数的周期性、单调性和奇偶性的应用,求函数的解析式和函数的值域,体现了转化的数学思想,属于基础题. 12.若函数f(x)对任意实数x.y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f
(1)=﹣2;
(1)求证f(x)为奇函数
(2)求证f(x)是R上的减函数
(3)求f(x)在[﹣3,4]上的最大值和最小值
(4)解不等f(x﹣4)+f(2﹣x2)≤16.【分析】
(1)先令x=y=0得f
(0)=0,再令y=﹣x得f(﹣x)=﹣f(x);
(2)直接运用函数单调性的定义和作差法证明;
(3)运用单调性求函数的最值;
(4)应用函数的奇偶性和单调性解不等式.【解答】解
(1)因为实数x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0得,f
(0)+f
(0)=f
(0),所以,f
(0)=0,再令y=﹣x得,f
(0)=f(x)+f(﹣x),所以,f(﹣x)=﹣f(x),故f(x)为奇函数;
(2)任取x1,x2∈(﹣∞,+∞),且x1>x2,f(x1)﹣f(x2)=f[(x1﹣x2)+(x2)]﹣f(x2)=f(x1﹣x2)+f(x2)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)因为x1﹣x2>0,所以f(x1﹣x2)<0,因此,f(x1)<f(x2),故f(x)为R上的单调减函数;
(3)因为函数f(x)在R上单调递减,所以,f(x)min=f
(4),f(x)max=f(﹣3),又因为f
(1)=﹣2,所以f
(4)=f
(2)+f
(2)=4f
(1)=﹣8,f(﹣3)=﹣f
(3)=﹣[f
(1)+f
(1)+f
(1)]=6,所以,函数在[﹣3,4]上的最大值为6,最小值为﹣8;
(4)因为f
(8)=f
(4)+f
(4)=﹣16,所以,f(﹣8)=16,所以,原不等式可化为f[(x﹣4)+(2﹣x2)]≤f(﹣8),即,(x﹣4)+(2﹣x2)≥﹣8,即x2﹣x﹣6≤0,解得x∈[﹣2,3],即该不等式的解集为[﹣2,3].【点评】本题主要考查了抽象函数奇偶性,单调性的判断和证明,以及应用函数的单调性和奇偶性确定函数的值域和解不等式,属于中档题. 14.若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)•f(y)=f(x+y),且当x<0时f(x)>1.
(1)求证f(x)>0;
(2)求证f(x)为R上的减函数;
(3)当时,对a∈[﹣1,1]时恒有,求实数x的取值范围.【分析】
(1)根据抽象函数,利用赋值法证明f(x)>0;
(2)根据函数单调性的定义证明f(x)为R上的减函数;
(3)利用函数单调性的性质,解不等式即可.【解答】解
(1)证法一f
(0)•f(x)=f(x),即f(x)[f
(0)﹣1]=0,又f(x)≠0,∴f
(0)=1当x<0时,f(x)>1,则﹣x>0,∴f(x)•f(﹣x)=f
(0)=1,则.故对于x∈R恒有f(x)>0.证法二,∵f(x)为非零函数,∴f(x)>0
(2)令x1>x2且x1,x2∈R,有f(x1)•f(x2﹣x1)=f(x2),又x2﹣x1<0,即f(x2﹣x1)>1故,又f(x)>0,∴f(x2)>f(x1)故f(x)为R上的减函数.
(3)故,则原不等式可变形为f(x2﹣2ax+2)≤f
(2)依题意有x2﹣2ax≥0对a∈[﹣1,1]恒成立,∴或x≤﹣2或x=0故实数x的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪{0}∪[2,+∞).【点评】本题主要考查抽象函数的应用,以及函数单调性的定义,以及利用函数的单调性解不等式,考查学生的运算能力.14.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,1)时f(x)>0,且x,y∈(0,+∞)时总有f(x•y)=f(x)+f(y)
(1)求证f()=f(x)﹣f(y);
(2)证明函数f(x)在定义域(0,+∞)上为减函数;
(3)若f
(3)=1,且f(a)<f(a﹣1)+2,求a的取值范围.【分析】
(1)需要特别注意构造方法,x=y•即可.
(2)抽象函数的单调性证明需要特别注意构造方法,构造出∈(0,1),可应用已知得f()>0,进而根据函数单调性的定义得到结论.
(3)根据若f
(3)=1,f
(9)=2,根据运算法以及单调性求得a的范围.【解答】解
(1)证明由题意得f(x)=f(y•)=f(y)+f(),故f()=f(x)﹣f(y).
(2)证明设0<x1<x2,∴f(x1)=f()=f(x2)+f(),∵当x∈(0,1)时f(x)>0,∵∈(0,1),∴f()>0,∴f(x1)>f(x2),∴函数f(x)在定义域(0,+∞)上为减函数;
(3)若f
(3)=1,∴f
(9)=2,∴f(a)<f(a﹣1)+f
(9)=f(9(a﹣1)),∴a>9(a﹣1),∴1<a<.【点评】本题考查抽象函数的运算法则以及单调性的证明和解不等式. 。