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2019届高三数学12月月考试题理III注意事项试卷分第I卷和第II卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.
一、选择题(每小题5分,共60分;在给出的ABCD四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.已知全集,,则()A.B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}
2.已知命题,则;命题若,则,下列命题为真命题的是A.B.C.D.
3.双曲线的一条渐近线方程为,则其的离心率为()A.B.C.D.
4.已知,则的大小关系为 A.B.C.D.
5.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.B.C.D.
6.已知直线过圆的圆心,且与直线垂直,则的方程是A.B.C.D.7.棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则该剩余部分的表面积为()A.B.C.D.
8.若等比数列满足,则公比为()A.2B.4C.8D.
169.已知函数,则A.B.0C.1D.
210.正四面体中,点分别是的中点,则异面直线所成的角的余弦值是A.B.C.D.
11.已知函数,若关于的方程有4个不同的实数解,则的取值范围为()A.B.C.D.12.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于,于点,且四边形的面积为,过的直线交抛物线于,两点,且,点为线段的垂直平分线与轴的交点,则点的横坐标的取值范围为()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的横线上
13.设向量,,且,则实数=.
14.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.
15.设,其中实数满足,若的最大值为12,则实数=________.
16.若函数满足
①的图象是中心对称图形;
②若时,图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数,则称是区间上的“对称函数”.若函数是区间上的“对称函数”,则实数的取值范围是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知等差数列的公差为,且成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列,求数列的前项和.18.(本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ)求函数的最大值;(Ⅱ)已知的面积为,且角的对边分别为,若,,求的值.19.(本小题满分12分)已知定点,点圆上的动点.(Ⅰ)求的中点的轨迹方程;(Ⅱ)若过定点的直线与的轨迹交于两点,且,求直线的方程.20.(本小题满分12分)如图,菱形与正三角形的边长均为2,它们所在平面互相垂直,平面,且.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)若,求直线与平面所成角的正弦值.21.(本小题满分12分)已知椭圆C(ab0)的右焦点为F20,过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l不经过点P(0,b)且与C相交于A,B两点,若直线PA与直线PB的斜率的和为1,试判断直线l是否经过定点,若经过定点,请求出该定点;若不经过定点,请给出理由.22.(本小题满分12分)已知关于的函数,(I)试求函数的单调区间;(II)若在区间内有极值,试求a的取值范围;(III)时,若有唯一的零点,试求.(注为取整函数,表示不超过的最大整数,如;以下数据供参考)枣庄三中(新城校区)高三年级12月份教学质量检测数学(理科)试题参考答案xx.12
一、选择题(每小题5分,共60分;在给出的ABCD四个选项中,只有一项符合题目要求)123456789101112CBBAADCBDCDA11.解析时,,可得,当时,函数取得极小值也是最小值,关于的方程有4个不同的实数解,就是函数与的图象有4个交点,画出函数的图象如图可知与,有4个交点,的图象必须在与之间.的斜率小于0,的斜率大于0,所以排除选项A,B,C.故选D.12.解析过作于,设直线与交点为,由抛物线的性质可知,,,设,,则,即,所以.又,所以,所以,所以,所以,又,,所以,,所以,所以直角梯形的面积为,解得,所以,设,,因为,所以,设直线代入到中得,所以,,所以,由以上式子可得,由可得递增,即有,即,又中点,所以直线的垂直平分线的方程为,令,可得,故选A.二.填空题本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中的横线上
13.
14.
15.
16.
15.解析此不等式表示的平面区域如图所示,其中,,.当时,直线平移到点时目标函数取最大值,即,所以;当时,直线平移到或点时目标函数取最大值,此时或,所以不满足题意.所以.
16.解析函数的图象可由的图象向左平移1个单位,再向上平移个单位得到,故函数的图象关于点对称,如图所示,由图可知,当时,点到函数图象上的点或的距离最大,最大距离为,根据条件只需,故.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.解析(Ⅰ)在等差数列中,因为成等比数列,所以,即,解得.因为,所以,……………3分所以数列的通项公式.……………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知所以.……………7分18.解析(Ⅰ)所以函数的最大值为.……….…….….………………………………5分(Ⅱ)由题意,化简得.…………7分因为,所以,所以,所以.………8分由得,又,所以或.……………………………………10分在中,根据余弦定理得.所以.………………………………………………12分19.解析(Ⅰ)设,由题意知化简得,故的轨迹方程为.………………………6分(Ⅱ)(i)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,满足条件;………8分(ii)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,因为半径,,故圆心到直线的距离,………10分由点到直线的距离公式得,解得,直线的方程为,………………11分故直线的方程为或.………12分20.解析(Ⅰ)如图,过点作于,连接.平面平面,平面平面平面于平面……………2分又平面,四边形为平行四边形.……………………………4分平面,平面平面………6分(Ⅱ)连接由(Ⅰ),得为中点,又,为等边三角形,……………………………………………………………………7分分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则,,…………8分设平面的法向量为.由得令,得.…………10分设直线与平面所成角为,则…………12分21.解析(I)设,则,两式相减得,…………2分又MN的中点坐标为,且M、N、F、Q共线因为,所以,因为所以,所以椭圆C的方程为…………4分(II)设直线AB,联立方程得设则…………6分因为,所以,所以所以,所以,所以所以,因为,所以…………8分所以直线AB,直线AB过定点…………10分又当直线AB斜率不存在时,设AB,则,因为所以适合上式,所以直线AB过定点…………12分
22.解析(I)由题意的定义域为(i)若,则在上恒成立,为其单调递减区间;…………2分(ii)若,则由得,时,,时,,所以为其单调递减区间;为其单调递增区间;…………4分(II)所以的定义域也为,且令*则**(i)当时恒成立所以为上的单调递增函数,又,所以在区间内存在唯一一个零点,由于为上的单调递增函数,所以在区间内,从而在,所以此时在区间内有唯一极值且为极小值,适合题意………………………………………………………………6分(ii)当时即在区间01上恒成立此时无极值.综上所述若在区间内有极值,则a的取值范围为.……………………8分III由(II)且知时.由**式知,由于,所以,又由于,所以亦即,由从而得所以,………………………………………………10分从而,又因为有唯一的零点,所以即为消去a得时令则在区间上为单调递增函数为单调递减函数且………………………………………………12分BACOxyx-2y+4=02x-y-4=01212OxyA。