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2019届高三数学上学期期末考试试题文III本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至8页考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题50分)参考公式三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c’、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长台体的体积公式其中S’、S分别表示上、下底面面积,h表示高
一、选择题本题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把你认为正确的选项前的字母填在题后的括号内
(1)设集合,若,则a的取值范围是()(A)(B)(C)(D)
(2)已知二面角,直线,,且a与l不垂直,b与l不垂直,那么()(A)a与b可能垂直,但不可能平行(B)a与b可能垂直,也可能平行(C)a与b不可能垂直,但可能平行(D)a与b不可能垂直,也不可能平行
(3)函数在一个周期内的图象如图所示,函数解析式为()(A)(B)(C)(D)
(4)若椭圆,双曲线有相同的焦点,,P是两曲线的交点,则的值是()(A)(B)(C)a-m(D)b-n
(5)如图,O为直二面角的棱MN上的一点,射线OE,OF分别在内,且∠EON=∠FON=45°,则∠EOF的大小为()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
(6)在等差数列中,,公差d0,前n项和是,则有()(A)(B)(C)(D)
(7)8种不同的商品,选出5种放入5个不同的柜台中,如果甲、乙两种商品不能放入第5号柜台中,那么不同的放法共有()(A)3360种(B)5040种(C)5880种(D)2160种
(8)下列四个命题
①满足的复数只有;
②若a,b是两个相等的实数,则是纯虚数;
③复的充要条件是;
④复平面内x轴即实轴,y轴即虚轴其中正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
(9)在中,,则角C等于()(A)(B)(C)(D)
(10)过抛物线的焦点作直线与此抛物线交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上
(11)已知,则=________________
(12)在一个棱长为的正四面体内有一点P,它到三个面的距离分别是1cm,2cm,3cm,则它到第四个面的距离为_______________cm
(13)设等比数列的前n项和为,前n+1项的和为,则=___________________
(14)抛物线和圆上最近两点的距离是_________________
三、解答题本大题共6小题,共84分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(15)(本小题满分14分)解关于x的不等式,(a0且a≠1)
(16)(本小题满分14分)已知定义在R上的函数为奇函数,且在上是增函数(Ⅰ)求证在上也是增函数;(Ⅱ)对任意,求实数m,使不等式恒成立
(17)(本小题满分14分)在长方体ABCD—中,AB=2,,E为的中点,连结ED,EC,EB和DB(Ⅰ)求证平面EDB⊥平面EBC;(Ⅱ)求二面角E-DB-C的正切值;(Ⅲ)求异面直线EB和DC的距离
(18)(本小题满分14分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池(平面图如图所示),池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚度忽略不计)(Ⅰ)设污水处理池的长为x米时,写出总造价fx的解析式;(Ⅱ)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低
(19)(本小题满分14分)已知椭圆c,将椭圆c平移,中心移到点(1,2),成为椭圆c’(Ⅰ)求椭圆c’的方程;(Ⅱ)椭圆c’上存在关于直线对称的不同的两点,求出m的范围
(20)(本小题满分14分)已知函数,满足条件
①;
②;
③;
④当xy时,有(Ⅰ)求f1,f3的值;(Ⅱ)由f1,f2,f3的值,猜想fn的解析式;(Ⅲ)证明你猜想的fn的解析式的正确性高三期末试卷数学(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题12345678910BBDCCABACD
二、填空题
11.
12.
413.
14.
三、解答题
15.解当a1时,原不等式等价于……………………2分…………………………………………………………4分解得………………………………………………………………6分∴原不等式的解集为……………………………………8分当0a1时,原不等式等价于………………………10分或……………………………………12分解得或x2∴原不等式的解集为…………………………………………14分
16.(Ⅰ)证明设,且,则,且…………………………2分∵在上是增函数,∴…………………………………………………………4分又为奇函数,∴……………………………………6分∴∴在上也是增函数…………………………………………8分(Ⅱ)∵函数在和上是增函数,且在R上是奇函数∵在上是增函数…………………………………………10分∵,∴,,………………………………………………12分,∵当时,的最大值为,∴当时,不等式恒成立…………………………………………14分
17.(Ⅰ)证明在长方体ABCD-中,AB=2,,E为的中点∴为等腰直角三角形,同理∴,即DE⊥EC……………………………………………2分在长方体ABCD-中,BC⊥平面,又DE平面,∴BC⊥DE……………………………………………………………………4分又,∴DE⊥平面EBC∵平面DEB过DE,∵平面DEB⊥平面EBC……………………………………………………5分(Ⅱ)解如图,过E胡平面中作EO⊥DC于O在长方体ABCD-中,∵面ABCD⊥面,∴EO⊥面ABCD过O在平面DBC中作OF⊥DB于F,连结EF∴EF⊥BD∠EFO为二面角E-DB-C的平面角………………………………7分利用平几知识可得…………………………10分(Ⅲ)解E在上,B在AB上,在长方体ABCD-中,,∴EB在平面内又∵DC//AB∴DC//平面直线DC到平面的距离就等于异面直线DC和EB的距离………………12分在长方体ABCD-中,平面⊥平面,连结,在平面中,过C作CH⊥平面,CH为所求的距离∴…………………………………………………………14分
18.(Ⅰ)解设污水处理池的长为x米,则宽为米………………………2分总造价…………………4分(Ⅱ)=36000(元)………………………………………………………………10分当且仅当时,即x=15等号成立…………………………………12分答当污水处理池的长为15米(宽为米)时,总造价最低………………14分
19.(Ⅰ)解椭圆c’的方程为…………………………4分(Ⅱ)解设为椭圆c’上关于直线l对称的不同的两点,AB的中点为,则有……………………………………8分
(2)-
(1)得5………………………10分
(3)代入
(5)得6由
(4)与
(6)得…………………………………12分∵M在c’内∴解得…………………………………………………………………14分
20.(Ⅰ)解∵,又,∴…………………………………………………………………………2分又∵,…………………………………………4分,且∴…………………………………………………………………………5分(Ⅱ)解由猜想…………8分(Ⅲ)用数学归纳法证明
(1)当n=1时,f1=1,函数解析式成立;
(2)假设时,,函数解析式成立;
①若,………………10分
②若,,∴……………………………………12分即时,函数解析式成立综合
(1)
(2)可知,成立……………………14分。