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2019届高三数学上学期期末考试试题理VII时间120分钟分值150分
一、选择题(每题一个选项,每题5分共60分)1.复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合,,表示实数集,则下列结论正确的是()A.B.C.D.3.小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口.已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒,黄灯5秒,红灯45秒.如果小明每天到路口的时间是随机的,则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A.B.C.D.4.设,,,则()A.B.C.D.5.若实数,满足约束条件,则的最大值是()A.3B.7C.5D.16.在等差数列中,,,则()A.4B.5C.6D.77.偶函数在上是增函数,且,则满足的实数的取值范围是()A.B.C.D.8.执行如图所示的程序框图,若输入,,,则输出的的值为()A.B.C.3D.29.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于()A.90B.72C.68D.6010.已知中,,,点是边上的动点,点是边上的动点,则的最小值为()A.B.C.D.011.过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点.若线段的中点为,为坐标原点,则与的大小关系是()A.B.C.D.无法确定12.已知函数,函数零点的个数为()A.3B.4C.1D.2
二、填空题每小题5分,每题5分共20分13.的展开式中的系数是_________用数字作答.14.过抛物线的焦点作直线,交抛物线于,两点,若,则__________.15.若,则的取值范围为_____.16.已知函数在上没有最小值,则的取值范围是__________.三.解答题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)已知函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)已知在中,,,的对边分别为,,,若,,,求,.18.(12分)在信息时代的今天,随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式,某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了100人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表(注年龄单位岁)年龄频数1030302055赞成人数825241021
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面的2×2列联表,并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”?年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计
(2)若从年龄在,的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.参考数据参考公式,其中.19.(12分)如图所示,在四棱锥中,,,,,.
(1)证明平面平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
20.(12分)已知椭圆右焦点,离心率为,过作两条互相垂直的弦,,设,中点分别为,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明直线必过定点,并求出此定点坐标.
21.(12分)已知函数;
(1)当时,,使成立,求的取值范围;
(2)令,,证明对,,恒有.选做题共10分请考生在第
22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22.(10分)【选修4-4坐标系与参数方程】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值.23.(10分)【选修4-5不等式选讲】设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.高三期末数学试卷答案(理)
一、选择题题号123456789101112答案ABDCBCADBBAC
二、填空题
13、
8414、
815、
16、
三、解答题
17.
(1)∵,∴,由,函数的单调递增区间是.
(2)由,得,,∵,∴,,,,∵,
①,根据余弦定理得,,∴
②,联立
①②得.
18.
(1)根据频数分布,填写2×2列联表如下;年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成135770不赞成171330合计3070100计算观测值,对照临界值表知,在犯错误的概率不超过的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”;
(2)根据题意,所有可能取值有0,1,2,3,,,,;∴的分布列是0123∴的期望值是
19.
(1)证明因为,,所以.因为,,,所以,所以,因为,所以平面.又平面,所以平面平面.
(2)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,所以,,设平面的法向量为,则,即,令,解得,即,显然平面的一个法向量为,所以,所以二面角的余弦值为.
20.
(1)由题意,,∴,,则椭圆的方程为.
(2)∵,斜率均存在,∴设直线方程为,再设,,则有,联立得,消去得,∴,即,将上式中的换成,同理可得,若,解得,直线斜率不存在,此时直线过点;下证动直线过定点,若直线斜率存在,则,直线为,令,得,综上直线过定点.
21.
(1)当,由,令,∴,列表得0减函数极小值增函数这时.∵,使成立,∴,∴,∴的取值范围为.
(2)因为对,,所以在内单调递减,所以.要证明,只需证明,即证明.令,,所以在是单调递增函数,所以,故命题成立.
22.
(1)由曲线得,即曲线的普通方程为;由曲线得,即曲线的直角坐标方程为.
(2)由
(1)知椭圆与直线无公共点,椭圆上的点到直线的距离为,∴当时,的最小值为.
23.
(1)由题意,当时,,解得,∴;当时,,解得,∴;当时,,解得,∴;综上,不等式的解集为.
(2)当时,,;当时,;当时,.∴.不等式恒成立等价于,即,解得.。