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第三节函数的奇偶性与周期性课时作业A组——基础对点练1.下列函数为奇函数的是 A.y= B.y=|sinx|C.y=cosxD.y=ex-e-x解析因为函数y=的定义域为[0,+∞,不关于原点对称,所以函数y=为非奇非偶函数,排除A;因为y=|sinx|为偶函数,所以排除B;因为y=cosx为偶函数,所以排除C;因为y=fx=ex-e-x,f-x=e-x-ex=-ex-e-x=-fx,所以函数y=ex-e-x为奇函数,故选D.答案D2.下列函数中为偶函数的是 A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x解析A选项,记fx=x2sinx,定义域为R,f-x=-x2sin-x=-x2sinx=-fx,故fx为奇函数;B选项,记fx=x2cosx,定义域为R,f-x=-x2cos-x=x2cosx=fx,故fx为偶函数;C选项,函数y=|lnx|的定义域为0,+∞,不关于原点对称,故为非奇非偶函数;D选项,记fx=2-x,定义域为R,f-x=2--x=2x=,故fx为非奇非偶函数,选B.答案B3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A.y=B.y=x+C.y=2x+D.y=x+ex解析选项A中的函数是偶函数;选项B中的函数是奇函数;选项C中的函数是偶函数;只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数.答案D4.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx解析A项中的函数是非奇非偶函数;B项中的函数是偶函数但不存在零点;C项中的函数是奇函数;D项中的函数既是偶函数又存在零点.答案D5.函数y=log2的图象 A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称解析由>0得-1<x<1,即函数定义域为-11,又f-x=log2=-log2=-fx,∴函数y=log2为奇函数,故选A.答案A6.设fx=x+sinxx∈R,则下列说法错误的是 A.fx是奇函数B.fx在R上单调递增C.fx的值域为RD.fx是周期函数解析因为f-x=-x+sin-x=-x+sinx=-fx,所以fx为奇函数,故A正确;因为f′x=1+cosx≥0,所以函数fx在R上单调递增,故B正确;因为fx在R上单调递增,所以fx的值域为R,故C正确;fx不是周期函数,故选D.答案D7.定义运算ab=,ab=,则fx=为 A.奇函数B.偶函数C.常函数D.非奇非偶函数解析由定义得fx=.∵4-x2≥0,且-2≠0,即x∈[-20∪02].∴fx==-x∈[-20∪02],∴f-x=,∴f-x=-fx,∴fx为奇函数.答案A8.fx是R上的奇函数,当x≥0时,fx=x3+ln1+x,则当x<0时,fx= A.-x3-ln1-xB.x3+ln1-xC.x3-ln1-xD.-x3+ln1-x解析当x<0时,-x>0,f-x=-x3+ln1-x,∵fx是R上的奇函数,∴当x<0时,fx=-f-x=-[-x3+ln1-x]=x3-ln1-x.答案C9.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数fx=x-[x]在R上为 A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数解析函数fx=x-[x]在R上的图象如图选D.答案D10.已知fx是定义在R上的偶函数,且满足fx+4=fx,当x∈[-20]时,fx=-2x,则f1+f4等于 A.B.-C.-1D.1解析由fx+4=fx知fx是周期为4的周期函数,又fx是定义在R上的偶函数,故f4=f0=-1,f1=f-1,又-1∈[-20],所以f-1=-2-1=-,所以f1=-,f1+f4=-,选B.答案B11.若fx=是R上的奇函数,则实数a的值为__________.解析∵函数fx是R上的奇函数,∴f0=0,∴=0,解得a=
1.答案112.2018·安徽十校联考已知fx是定义在R上的奇函数,且当x<0时,fx=2x,则flog49=__________.解析因为log49=log23>0,又fx是定义在R上的奇函数,且当x<0时,fx=2x,所以flog49=flog23=-2-log23==-.答案-13.已知定义在R上的偶函数fx在[0,+∞上单调递增,且f1=0,则不等式fx-2≥0的解集是__________.解析由已知可得x-2≥1或x-2≤-1,解得x≥3或x≤1,∴所求解集是-∞,1]∪[3,+∞.答案-∞,1]∪[3,+∞B组——能力提升练1.已知fx在R上是奇函数,且满足fx+4=fx,当x∈02时,fx=2x2,则f7= A.2B.-2C.-98D.98解析因为fx+4=fx,所以函数fx的周期T=4,又fx在R上是奇函数,所以f7=f-1=-f1=-
2.答案B2.已知fx是定义在R上的偶函数,且在区间-∞,0]上单调递增,若实数a满足f>f-,则a的取值范围是 A.-∞,B.0,C.,+∞D.1,解析∵fx是定义在R上的偶函数,且在区间-∞,0]上单调递增,∴fx在区间[0,+∞上单调递减.根据函数的对称性,可得f-=f,∴f2log3a>f.∵>0,fx在区间[0,+∞上单调递减,∴0<<⇒log3a<⇒0<a<,故选B.答案B3.奇函数fx的定义域为R.若fx+2为偶函数,且f1=1,则f8+f9= A.-2B.-1C.0D.1解析由fx+2是偶函数可得f-x+2=fx+2,又由fx是奇函数得f-x+2=-fx-2,所以fx+2=-fx-2,fx+4=-fx,fx+8=fx,故fx是以8为周期的周期函数,所以f9=f8+1=f1=1,又fx是定义在R上的奇函数,所以f8=f0=0,∴f8+f9=
1.答案D4.已知函数fx=asinx+b+4,若flg3=3,则f= A.B.-C.5D.8解析由flg3=asinlg3+b+4=3得asinlg3+b=-1,而f=f-lg3=-asinlg3-b+4=-[asinlg3+b]+4=1+4=
5.故选C.答案C5.若定义在R上的函数fx满足对任意x1,x2∈R,有fx1+x2=fx1+fx2+1,则下列说法一定正确的是 A.fx-1为奇函数B.fx-1为偶函数C.fx+1为奇函数D.fx+1为偶函数解析∵对任意x1,x2∈R有fx1+x2=fx1+fx2+1,∴令x1=x2=0,得f0=-
1.令x1=x,x2=-x,得f0=fx+f-x+
1.∴fx+1=-f-x-1=-[f-x+1],∴fx+1为奇函数.故选C.答案C6.已知偶函数fx在区间[0,+∞上单调递增,则满足f2x-1<f的x的取值范围是 A.B.C.D.解析法一偶函数满足fx=f|x|,根据这个结论,有f2x-1<f⇔f|2x-1|<f,进而转化为不等式|2x-1|<,解这个不等式即得x的取值范围是.故选A.法二设2x-1=t,若ft在[0,+∞上单调递增,则fx在-∞,0上单调递减,如图,∴ft<f,有-<t<,即-<2x-1<,∴<x<,故选A.答案A7.已知定义在R上的奇函数满足fx+4=-fx,且在区间
[02]上是增函数,则 A.f-25<f11<f80B.f80<f11<f-25C.f11<f80<f-25D.f-25<f80<f11解析∵fx+4=-fx,∴fx+8=-fx+4,∴fx+8=fx,∴fx的周期为8,∴f-25=f-1,f80=f0,f11=f3=f-1+4=-f-1=f1,又∵奇函数fx在区间
[02]上是增函数,∴fx在区间[-22]上是增函数,∴f-25<f80<f11,故选D.答案D8.设奇函数fx在0,+∞上是增函数,且f1=0,则不等式x[fx-f-x]<0的解集为 A.{x|-1<x<0,或x>1}B.{x|x<-1,或0<x<1}C.{x|x<-1,或x>1}D.{x|-1<x<0,或0<x<1}解析∵奇函数fx在0,+∞上是增函数,f-x=-fx,x[fx-f-x]<0,∴xfx<0,又f1=0,∴f-1=0,从而有函数fx的图象如图所示则有不等式x[fx-f-x]<0的解集为{x|-1<x<0或0<x<1},选D.答案D9.定义在R上的函数fx满足fx+6=fx,当-3≤x<-1时,fx=-x+22;当-1≤x<3时,fx=x.则f1+f2+f3+…+f2017 A.336B.337C.1678D.2018解析∵fx+6=fx,∴T=6,当-3≤x<-1时,fx=-x+22,当-1≤x<3时,fx=x.∴f1=1,f2=2,f3=f-3=-1,f4=f-2=0,f5=f-1=-1,f6=f0=0,∴f1+f2+f3+f4+f5+f6=1,由周期可得f1+f2+…+f6=f7+f8+…+f12=…=f2011+f2012+…+f2016=1,而f2017=f6×336+1=f1=1,∴f1+f2+…+f2017=336×1+1=
337.故选B.答案B10.对任意的实数x都有fx+2-fx=2f1,若y=fx-1的图象关于x=1对称,且f0=2,则f2015+f2016= A.0B.2C.3D.4解析y=fx-1的图象关于x=1对称,则函数y=fx的图象关于x=0对称,即函数fx是偶函数,令x=-1,则f-1+2-f-1=2f1,即f1-f1=2f1=0,即f1=0,则fx+2-fx=2f1=0,即fx+2=fx,则函数的周期是2,又f0=2,则f2015+f2016=f1+f0=0+2=
2.故选B.答案B11.2018·保定调研已知函数fx为R上的奇函数,当x≥0时,fx=xx+1,若fa=-2,则实数a=________.解析x≥0时,fx=xx+1=2-的最小值为0,所以fa=-2时,a<0,因为fx为R上的奇函数,当x<0时,-x>0,f-x=-x-x+1=x2-x=-fx,所以x<0时,fx=-x2+x,则fa=-a2+a=-2,所以a=-
1.答案-112.已知函数fx=x22x-2-x,则不等式f2x+1+f1≥0的解集是__________.解析因为f-x=-x22-x-2x=-x22x-2-x=-fx,所以函数fx是奇函数.不等式f2x+1+f1≥0等价于f2x+1≥f-1.易知,当x>0时,函数fx为增函数,所以函数fx在R上为增函数,所以f2x+1≥f-1等价于2x+1≥-1,解得x≥-
1.答案[-1,+∞13.已知函数fx=,若fx-1<f2x+1,则x的取值范围为__________.解析若x>0,则-x<0,f-x=3-x2+ln+x=3x2+ln+x=fx,同理可得,x<0时,f-x=fx,且x=0时,f0=f0,所以fx是偶函数.因为当x>0时,函数fx单调递增,所以不等式fx-1<f2x+1等价于|x-1|<|2x+1|,整理得xx+2>0,解得x>0或x<-
2.答案-∞,-2∪0,+∞14.定义在R上的函数fx在-∞,-2上单调递增,且fx-2是偶函数,若对一切实数x,不等式f2sinx-2>fsinx-1-m恒成立,则实数m的取值范围为__________.解析因为fx-2是偶函数,所以函数fx的图象关于x=-2对称,由题意知fx在-∞,-2上为增函数,则fx在-2,+∞上为减函数,所以不等式f2sinx-2>fsinx-1-m恒成立等价于|2sinx-2+2|<|sinx-1-m+2|,即|2sinx|<|sinx+1-m|,两边同时平方,得3sin2x-21-msinx-1-m2<0,即3sinx+1-msinx-1+m<0,即或,即或,即或,即m<-2或m>4,故m的取值范围为-∞,-2∪4,+∞.答案-∞,-2∪4,+∞。